이 iid 랜덤 변수 라고 가정 합니다. 순서가 처음으로 줄어드는 것은 언제입니까?

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제목에서 제안한대로. 이 pdf 연속 iid 랜덤 변수 라고 가정 합니다. 이벤트를 고려하는 것이 , 따라서, 시퀀스가 처음으로 감소 할 때이다. 그렇다면 의 가치는 무엇 입니까? $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ $f$ $X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{N-1} > X_N$ $N \geq 2$ $N$ $E[N]$

먼저 를 평가하려고했습니다 . I은 할 마찬가지로, 있습니다. 마찬가지로 큰 도착, 계산은 더 복잡해진다 난 패턴을 찾을 수 없습니다. 아무도 내가 어떻게 진행해야하는지 제안 할 수 있습니까? $P[N = i]$

\begin{aligned} P [N = 2] & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) F (x) d x \\ = \frac{F (x)^{2}}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{2} \\ P [N = 3] & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \int_{x}^{\infty} f (y) F (y) d y d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \frac{1 - F (x)^{2}}{2} d x \\ = \frac{F (x) - F (x)^{3} / 3}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = 2] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)F(x)dx \\ & = \frac{F(x)^2}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{2} \\ P[N = 3] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\int_x^{\infty}f(y)F(y)dydx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{1-F(x)^2}{2}dx \\ & = \frac{F(x)-F(x)^3/3}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{3} \end{align*}$

P [N = 4] = \frac{1}{8}

$P[N = 4] = \frac{1}{8}$

i

$i$

probability self-study iid

— 배추
소스

이것은 코스 나 교과서에서 질문입니까? 그렇다면 [self-study]태그 를 추가 하고 위키를 읽으십시오 .

— 실버 피쉬

1

힌트. 무작위로 치환되어야하는 순위를 고려하십시오. 이 있습니다 순위의 배열 . 가 모두 증가 하는 순열은 하나뿐입니다 . 들면 있다 우리는 그 끝에서 두 번째 위치까지 증가 시퀀스를 생성하기 위해 끝 꺼내 배치 할 수있는 최대,없는 관찰 후 감소한다. 따라서이 확률은 에서 ...? 찾은 , 및 정렬 하고 일반화하는 간단한 수식을 제공해야합니다. 합계는 매우 쉽습니다.

n!

$n!$

1, 2, \dots, n

$1, 2, \dots, n$

X_{i}

$X_i$

n \geq 2

$n \geq 2$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 8

$1/8$

— Silverfish

(그리고 당신이 시리즈의 결과를 추측 할 수 없다면 평균을 구하기 위해 합산 할 것입니다. 아마도 시뮬레이션을 실행해야합니다. 소수점 이하 몇 자리를 인식 할 것입니다.)

— Silverfish

오늘 제가 치른 시험 문제입니다. 힌트 주셔서 감사합니다, 이제는 그것을 해결하는 방법을 알아 냈습니다.

— Hao The Cabbage

2

stats.stackexchange.com/questions/51429/… 는 기본적으로 복제본입니다. 그것은 균일 한 분포에 관한 것이지만, 두 질문이 동등하다는 것을 보여주는 것은 사소한 일입니다. (한 방법 : 확률 적분 변환을 적용하십시오 .)

X_{i}

$X_i$

— whuber

9

경우 인 교환 랜덤 변수들의 시퀀스 다음 IF 및 ONY 만약 . 따라서 대칭따라서 입니다. $\{X_i\}_{i\geq 1}$

N = min {n : X_{n - 1} > X_{n}},

$N=\min\,\{n:X_{n-1}>X_n\},$

N \geq n

$N\geq n$

X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}

$X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}$

Pr (N \geq n) = Pr (X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}) = \frac{1}{(n - 1)!}, (*)

$\Pr(N\geq n) = \Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1})=\frac{1}{(n-1)!}, \qquad (*)$

E [N] = \sum_{n = 1}^{\infty} Pr (N \geq n) = e \approx 2.71828 \dots

$\mathrm{E}[N]=\sum_{n=1}^\infty \Pr(N\geq n)=e\approx 2.71828\dots$

PS 사람들은 의 증거에 대해 물었습니다 . 순서는 교환 가능하기 때문에 순열 에 대해 우리는 가지고 있기 때문에가능한 순열은 다음과 같습니다. $(*)$ $\pi:\{1,\dots,n-1\}\to\{1,\dots,n-1\}$

홍보 ({엑스}_{1} \leq {엑스}_{2} \leq \dots \leq {엑스}_{엔 - 1}) = 홍보 ({엑스}_{π (1)} \leq {엑스}_{π (2)} \leq \dots \leq {엑스}_{π (엔 - 1)}) .

$\Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}) = \Pr(X_{\pi(1)}\leq X_{\pi(2)}\leq\dots\leq X_{\pi(n-1)}).$

(n - 1)!

$(n-1)!$

— 선
소스

2

나는 이것을 좋아한다-그것은 우리가 종종 의 평균 을 찾기 위해 개별 를 찾을 필요가 없으며 대신 로 바로가는 것이 더 도움이 될 수 있음 을 상기시킨다.

Pr (Y = y)

$\Pr(Y=y)$

Pr (Y \geq y)

$\Pr(Y \geq y)$

— 실버 피쉬

+1-이것은 실제로 질문에 대답하지 않습니다. 주어진 유한 수의 가 있다고 가정합니다 . 그럼에도 불구하고이 기법은 유한 한 경우에 명백한 방식으로 적용됩니다.

X_{i}

$X_i$

— whuber

1

조금 혼란스럽지 않습니까? OP는 "시퀀스"를 언급합니다. 하지만 네 말이 맞아 그건 그렇고, 결과가 (동일하게 분포 된) 의 분포에 의존하지 않는다는 의미에서 결과가 "있는 그대로"있어야한다는 것이 직관적 입니까?

X_{i}

$X_i$

— Zen

1

실제로는 독립성이 필요하지 않습니다. 교환만으로 충분합니다. 결과는 더 강합니다. 이것을 내 대답에 추가하겠습니다.

— Zen

3

연속 변수에 보편적이라는 것은 직관적입니다 . 이를 명백하게하는 한 가지 방법은 확률 적분 변환을 적용 할 때 이벤트가 변경되지 않고 남아 있음을 인식하여 변수가 공통의 균일 분포를 갖는 경우로 감소시키는 것입니다.

— whuber

8

Silverfish가 제안한대로 아래 솔루션을 게시하고 있습니다. 그리고

\begin{aligned} P [N = i] & = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} > X_{i}] \\ = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1}] - P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} \leq X_{i}] \\ = \frac{1}{(i - 1)!} - \frac{1}{i!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = i] & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} > X_i] \\ & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1}] - P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} \leq X_i] \\ & = \frac{1}{(i-1)!} - \frac{1}{i!} \end{align*}$

\begin{aligned} P [엔 \geq 나는] & = 1 - 피 [엔 < 나는] \\ = 1 - (1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{삼!} + \dots + \frac{1}{(나는 - 2)!} - \frac{1}{(나는 - 1)!}) \\ = \frac{1}{(나는 - 1)!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N \geq i] & = 1 - P[N < i] \\ & = 1 - \left(1 -\frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots +\frac{1}{(i-2)!} - \frac{1}{(i-1)!}\right)\\ & = \frac{1}{(i-1)!} \\ \end{align*}$

따라서 . $E[N] = \sum_{i = 1}^{\infty}P[N \geq i] = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{(i-1)!} = e$

— 배추
소스

7

대안적인 주장 : 증가 하는 순서는 단 하나뿐입니다 의 가능한 순열입니다 . 우리는 두 번째 위치까지 증가한 다음 감소하는 순서에 관심이 있습니다. 최대 값은 위치 에 있어야하고 다른 중 하나 는 최종 위치에 있어야합니다. 순서대로 첫 항 중 하나를 골라 최종 위치로 옮길 수 있는 방법이 있으므로 확률은 다음과 같습니다. $X_i$ $n!$ $X_1, \dots, X_n$ $n-1$ $n-1$ $X_i$ $n-1$ $n-1$

홍보 (엔 = 엔) = \frac{엔 - 1}{엔!}

$\Pr(N=n) = \frac{n-1}{n!}$

참고 , 및 따라서 통합에서 찾은 결과와 일치합니다. $\Pr(N=2) = \frac{2-1}{2!} = \frac{1}{2}$ $\Pr(N=3) = \frac{3-1}{3!} = \frac{1}{3}$ $\Pr(N=4) = \frac{4-1}{4!} = \frac{1}{8}$

의 예상 값을 찾으려면 다음을 사용할 수 있습니다. $N$

이자형 (엔) = \sum_{엔 = 2}^{\infty} 엔 홍보 (엔 = 엔) = \sum_{엔 = 2}^{\infty} \frac{엔 (엔 - 1)}{엔!} = \sum_{엔 = 2}^{\infty} \frac{1}{(엔 - 2)!} = \sum_{케이 = 0}^{\infty} \frac{1}{케이!} = 이자형

$\mathbb{E}(N) = \sum_{n=2}^{\infty} n \Pr(N=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

(요약을보다 명확하게하기 위해 .이 합계에 익숙하지 않은 독자는 Taylor 시리즈 및 대체 ) $k=n-2$ $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ $x=1$

시뮬레이션으로 결과를 확인할 수 있습니다. 여기에 R 코드가 있습니다 :

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

이것은 나를 만족시키기에 2.718347충분히 가까이 돌아왔다 2.71828.

— 은어
소스

-1

편집 : 내 대답이 잘못되었습니다. 나는 이와 같은 겉보기 간단한 질문이 잘못 해석하는 것이 얼마나 쉬운 지에 대한 예를 남기고 있습니다.

나는 당신의 수학이 경우에 맞지 않다고 생각합니다 . 간단한 시뮬레이션을 통해이를 확인할 수 있습니다. $P[N=4]$

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

우리에게 주어지다:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

order용어를 4로 변경하면 다음과 같이됩니다.

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

그리고 5 :

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

따라서 시뮬레이션 결과를 신뢰하면 패턴이 것처럼 보입니다 . 그러나 이것은 실제로 의미가 있습니다. 왜냐하면 당신이 정말로 요구하는 것은 모든 관측치의 하위 집합에서 주어진 관측치가 최소 관측치 일 가능성입니다. ). 그중 하나가 최소값이어야하므로 실제로 문제는 무작위로 선택한 모든 관측 값이 최소값 일 확률입니다. 이것은 단순한 이항 과정입니다. $P[N = X] = \frac{1}{x}$

— 달튼 Hance
소스

1

내가 읽은 내용이 정확하다면 질문을 약간 잘못 해석했습니다 의 첫 번째 은 순서 가 하지만 마지막 은 최대 (최소한은 아님) 이외의 값 이어야합니다. 위치 의 최대 값이 입니다.

X_{n}

$X_n$

n - 1

$n-1$

X_{i}

$X_i$

n - 1

$n-1$

— 좀 벌레

나는 그것이 약간의 오해 이상이라고 생각합니다. 당신은 맞습니다, 내가 틀렸다는 것입니다.

— Dalton Hance