중앙값이 "메트릭"또는 "토폴로지"속성입니까?

용어의 약간의 남용에 대해 사과드립니다. 아래에서 의미하는 바가 명확 해지기를 바랍니다.

임의의 변수 고려하십시오 . 평균과 중앙값은 모두 최적의 기준으로 특징 지어 질 수 있습니다. 평균은 를 최소화 하는 숫자 μ 와 . 이 관점에서, 평균과 중앙값의 차이는 편차, 제곱 또는 절대 값을 평가하기위한 "메트릭"의 선택입니다.$X$$\mu$E ( | X - μ |$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

반면, 중앙값은 (절대 연속성을 가정 숫자입니다 . 즉,이 정의 는 값 을 정렬 하는 기능에만 의존하며 와 무관합니다. 그들이 얼마나 다른지. 그 결과 엄격하게 증가하는 함수 , 에 대해 "토폴로지"라는 의미입니다. "고무 같은"변형에서 불변. Xf(x)median(f(X))=f(median(X)$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

이제 나는 수학을 마쳤고 나는 최적의 기준에서 시작하여 1에 도달 할 수 있음을 알고있다 quantile이므로 둘 다 같은 것을 설명합니다. 그러나 직관에 따르면 "메트릭"에 의존하는 것이 "토폴로지"속성으로 이어질 수 없다는 점이 혼란 스러워요.$\frac12$

누군가 나를 위해이 수수께끼를 해결할 수 있습니까?

추론의 결점은 메트릭에 의존하는 것이 토폴로지 특성이 될 수 없다는 것입니다.

미터법 공간을 압축하십시오. 이는 메트릭 측면에서 정의 할 수 있습니다. 압축은 공간이 완전하고 (메트릭에 따라 다름) 완전히 경계 (메트릭에 따라 다름)를 의미합니다. 그러나,이 특성은 동종 이형 하에서 변하지 않으며, 실제로는 토폴로지 (일반적인 방법으로 임의의 커버의 유한 서브 커버)에 의해서만 정의 될 수 있음이 밝혀졌다.

또 다른 예는 다양한 상 동성 이론입니다. 단 하나의 상 동성 만 정의에있어 실제로 토폴로지입니다. 단순, 셀룰러, De Rham (cohomology, 나에게 약간 느슨 함) 등의 다른 모든 것들은 여분의 구조에 달려 있지만 동등한 것으로 밝혀졌습니다 (그리고 작업하기가 훨씬 쉽습니다).

이것은 수학적으로 많이 나오며 때로는 무언가를 정의하는 가장 쉬운 방법은 일부 보조 구조와 관련이 있으며 결과 엔터티가 실제로 보조 구조의 선택에 의존하지 않는다는 것이 입증됩니다.