Metropolis-Hastings 통합-왜 전략이 작동하지 않습니까?

통합하려는 함수 가 있다고 가정하자. 물론 가 끝점에서 0으로 가정하고 폭발이 없으며 멋진 기능을 가정합니다. 내가 다루었던 한 가지 방법은 Metropolis-Hastings 알고리즘을 사용 하여 비례 하는 분포에서 샘플 목록을 생성하는 것입니다 $g(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} g (x) d x .

$\int_{-\infty}^\infty g(x) dx.$

g (x)

$g(x)$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \dots, x_n$

g (x)

$g(x)$ 정규화 상수를 누락되는

되는 I는 호출

하고 일부 통계치 계산

다음에

의 :

N = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d x

$N = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)dx$

p (x)

$p(x)$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

\frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} f (x_{i}) \approx \int_{- \infty}^{\infty} f (x) p (x) d x .

$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^n f(x_i) \approx \int_{-\infty}^\infty f(x)p(x)dx.$

이후 , 난에 대체 할 수있는 취소 형태의 표현의 결과로부터 적분 $p(x) = g(x)/N$ $f(x) = U(x)/g(x)$ $g$ 따라서해당 지역을 따라통합되면 결과을 얻어야하며 원하는 답을 얻기 위해 역수를 취할 수 있습니다. 그러므로 나는 내 샘플의 범위 (대부분 효과적으로 포인트를 사용) 걸릴 수및하자내가 그려 한 각 샘플에 대해. 그렇게

\frac{1}{N} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{U (x)}{g (x)} g (x) d x = \frac{1}{N} \int_{- \infty}^{\infty} U (x) d x .

$\frac{1}{N}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{U(x)}{g(x)} g(x) dx = \frac{1}{N}\int_{-\infty}^\infty U(x) dx.$

U (x)

$U(x)$

1

$1$

1 / N

$1/N$

r = x_{max} - x_{min}

$r = x_\max - x_\min$

U (x) = 1 / r

$U(x) = 1/r$

는 내 샘플이 아닌 지역 외부에서 0으로 평가되지만해당 지역의

에통합됩니다. 이제 예상 값을 가져 오면

U (x)

$U(x)$

1

$1$

E [\frac{U (x)}{g (x)}] = \frac{1}{N} \approx \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{U (x)}{g (x)} .

$E\left [\frac{U(x)}{g(x)}\right ] = \frac{1}{N} \approx \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{U(x)}{g(x)}.$

$g(x) = e^{-x^2}$ rnorm

\frac{1}{n (x_{max} - x_{min})} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{e^{- x_{i}^{2}}} .

$\frac{1}{n(x_{\max} - x_\min)} \sum_{i=0}^n \frac{1}{ e^{-x_i^2}}.$

1 / \sqrt{π}

$1/\sqrt{\pi}$

ys = rnorm(1000000, 0, 1/sqrt(2))
r = max(ys) - min(ys)
sum(sapply(ys, function(x) 1/( r * exp(-x^2))))/length(ys)
## evaluates to 0.6019741. 1/sqrt(pi) = 0.5641896

CliffAB 편집

$1$ $[-\infty, \infty]$

U (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x_{max} - x_{min}} & x_{max} > x > x_{min} \\ 0 & otherwise. \end{cases}

$U(x) = \begin{cases} \frac{1}{x_\max - x_\min} & x_\max > x > x_\min \\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$

U (x)

$U(x)$

1

$1$

P (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2}} .

$P(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}.$

\frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{P (x)}{g (x)} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{e^{- x_{i}^{2}} / \sqrt{π}}{e^{- x_{i}^{2}}} = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n} \frac{1}{\sqrt{π}} = \frac{1}{\sqrt{π}} .

$\frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{P(x)}{g(x)} = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{e^{-x_i^2}/\sqrt{\pi}}{e^{-x_i^2} } = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^n \frac{1}{\sqrt{\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.$

$1$

— 마이크 플린
소스

이 문제를 빠르게 살펴보면 range (x)를 사용하기로 결정한 이유가 확실하지 않습니다. 조건부로 유효하기 때문에 매우 비효율적입니다! 해당 크기의 표본 범위는 통계가 취할 수있는 가장 불안정한 통계입니다.

— Cliff AB

@CliffAB 내 포인트가있는 구간에 균일 한 분포를 정의하는 것 외에도 범위를 사용하는 것에 대해 특별히 특별한 것은 없습니다. 편집 내용을 참조하십시오.

— Mike Flynn

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

(x) \to 1

$(x) \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

range (x) \to \infty

$\text{range}(x) \rightarrow \infty$

@CliffAB 당신이 옳았을 수도 있지만, 그 이유는 적분의 경계가 고정되지 않았기 때문에 추정기의 분산이 결코 수렴하지 않을 것이라고 생각합니다.

— Mike Flynn

$g$ $g$ $g$

\int_{X} g (x) d x

$\int_\mathcal{X} g(x) \,\text{d}x$

p (x) \propto g (x)

$p(x)\propto g(x)$

α (x)

$\alpha(x)$

U (x)

$U(x)$

{x; α (x) > 0} \subset {x; g (x) > 0}

$\{x;\alpha(x)>0\}\subset\{x;g(x)>0\}$

\int_{X} \frac{α (x)}{g (x)} p (x) d x = \int_{X} \frac{α (x)}{N} d x = \frac{1}{N}

$\int_\mathcal{X} \dfrac{\alpha(x)}{g(x)}p(x) \,\text{d}x=\int_\mathcal{X} \dfrac{\alpha(x)}{N} \,\text{d}x=\dfrac{1}{N}$

p

$p$

1 / N

$1/N$

\hat{η} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{α (x_{i})}{g (x_{i})} x_{i} \overset{iid}{\sim} p (x)

$\hat\eta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \dfrac{\alpha(x_i)}{g(x_i)}\qquad x_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}p(x)$

\hat{η}

$\hat\eta$

α

$\alpha$

α = π

$\alpha=\pi$

\frac{α (x)}{g (x)} = \frac{1}{ℓ (x)}

$\dfrac{\alpha(x)}{g(x)} = \dfrac{1}{\ell(x)}$

ℓ (x)

$\ell(x)$

g (x) = π (x) ℓ (x)

$g(x)=\pi(x)\ell(x)$

\hat{N} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / ℓ (x_{i})}

$\hat{N}=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n1\big/\ell(x_i)}$

$(\min(x_i),\max(x_i))$ $\exp\{x^2\}$

$\alpha$ $(q_{.25}(x_i),q_{.75}(x_i))$ $g$

이 새로운 밀도에 코드를 적용 할 때 근사값은 훨씬 가깝습니다. $1/\sqrt{\pi}$

ys = rnorm(1e6, 0, 1/sqrt(2))
r = quantile(ys,.75) - quantile(ys,.25)
yc=ys[(ys>quantile(ys,.25))&(ys<quantile(ys,.75))]
sum(sapply(yc, function(x) 1/( r * exp(-x^2))))/length(ys)
## evaluates to 0.5649015. 1/sqrt(pi) = 0.5641896

우리는이 개 논문에서 세부 사항에이 방법을 논의 대런 레이스와 와 장 미셸 마린을 .

— 시안
소스