왜도 및 제로 초과 첨도를 가진 비정규 분포?

대부분 이론적 인 질문입니다. 처음 네 모멘트 가 정규 분포와 같은 비정규 분포의 예가 있습니까? 그것들은 이론적으로 존재할 수 있습니까?

예, 왜도 및 과도 첨도가 모두 0 인 예제는 비교적 쉽게 구성 할 수 있습니다. (실제로 예 (a) 내지 (d)는 피어슨 평균-중앙 왜도 0을 가짐)

(a) 예를 들어, 이 답변 에서 예는 감마 변이체 ( 라고 부름 )와 두 번째 음수의 음수를 50-50 혼합하여 다음과 같은 밀도를 갖습니다.$X$

결과는 대칭이며 정상이 아닙니다. 스케일 파라미터는 여기서 중요하지 않으므로 1로 만들 수 있습니다. 감마의 형상 파라미터를 신중하게 선택하면 필요한 첨도를 얻을 수 있습니다.

1. 이 이중 감마 ( ) 의 분산은 다음을 기반으로하는 감마 변형의 측면에서 쉽게 해결할 수 있습니다. 입니다.$Y$$\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$

2. 변수 의 네 번째 중심 모멘트는 와 동일 합니다. 감마 ( )의 경우$Y$$E(X^4)$$\alpha$$\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

결과적으로 첨도는 입니다. 이것은 인 시 , 일어나는 경우 .$\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$$3$$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(b) 우리는 또한 두 유니폼의 규모 혼합물로 예를 만들 수 있습니다. 하자 및하자 , 및하자 . 이 대칭이고 유한 범위를 갖는 것을 고려함으로써 , 우리는 이어야합니다 . 왜도는 0이고 중심 모멘트와 원시 모멘트는 동일합니다.$U_1\sim U(-1,1)$$U_2\sim U(-a,a)$$M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$$M$$E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

마찬가지로 이므로 첨도는$E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

우리가 선택하면 , 다음 첨도 3이고, 밀도 보이는이 같은 :$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

(c) 다음은 재미있는 예입니다. 대해 보자 .$X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$$i=1,2$

하자 1 대 1의 비율로 혼합 될 과 :$Y$$\sqrt{X_1}$$-\sqrt{X_2}$

대칭으로 ( 도 유한해야하지만 은 유한함)$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

대칭에 의해 (그리고 절대 3 번째 모멘트가 존재한다는 사실) skew = 0

네 번째 순간 :$E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

첨도 =$\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

그래서 , 첨도는 3 인이 상기 예시 한 경우이다.$\lambda=\frac12$

(d) 대칭 응답이 작성하기 쉬우므로 지금까지의 모든 예제는 대칭 적이지만 비대칭 솔루션도 가능합니다. 다음은 별개의 예입니다.

보시다시피, 이러한 예제 중 어느 것도 특히 "정상"으로 보이지 않습니다. 동일한 속성을 가진 여러 개의 이산 형, 연속 형 또는 혼합형 변수를 만드는 것이 간단합니다. 내 예제의 대부분은 혼합물로 구성되었지만 혼합물에 대해서는 특별한 것이 없습니다 . 레고를 사용하여 물건을 만드는 것과 같은 속성을 사용하여 원하는 방식으로 분포를 만드는 편리한 방법 이외의 다른 혼합물도 있습니다.

이 답변 은 첨도에 대한 추가 정보를 제공하여 다른 예를 구성하는 것과 관련된 고려 사항 중 일부를 좀 더 명확하게 만들어야합니다.

비슷한 방식으로 더 많은 순간을 맞출 수 있지만 더 많은 노력이 필요합니다. 그러나 법선의 MGF가 존재하기 때문에 정규 분포의 모든 정수 모멘트를 비정규 분포와 일치시킬 수는 없습니다. 이는 MGF가 일치한다는 것을 의미하기 때문에 두 번째 분포도 역시 정상임을 의미하기 때문입니다.

Glen_b가 좋은 지적을합니다. 디락 델타 기능을 제 분소에 대한 추가적인 제분으로 고려할 것입니다. Wikipedia가 지적한 것처럼, DDF는 DDF의 모든 상위 모멘트가 다음과 같은 결과를 가져옵니다. 제로.

Paul Dirac은 그의 1931 년 책 " 양자 역학 의 원리들 "에서 양자 역학에 이것을 적용 하지만, 그 기원은 푸리에, 레스 베스, 코시 등으로 거슬러 올라갑니다. DDF는 또한 예를 들어 야구 방망이를 치는 박쥐의 균열 분포를 모델링하는 물리적 유사체를 가지고있다.