이 올바른지 ? (잘린 노름 다변량 가우스 생성)

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만약 즉, $X\in\mathbb{R}^n,~X\sim \mathcal{N}(\underline{0},\sigma^2\mathbf{I})$

f_{X} (x) = \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{n / 2}} \exp (- \frac{| | x | |^{2}}{2 σ^{2}})

$f_X(x) = \frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{n/2}} \exp\left(-\frac{||x||^2}{2\sigma^2}\right)$

다변량 사례에서 잘린 정규 분포 의 유사한 버전을 원합니다 .

보다 정확하게, 나는 표준 제약 (값 ) 다변량 가우스 st 여기서 $\geq a$ $Y$

f_{Y} (y) = {\begin{cases} c . f_{X} (y), if | | y | | \geq a \\ 0, otherwise . \end{cases}

$f_Y(y) = \begin{cases} c.f_X(y), \text{ if } ||y||\geq a \\[2mm] 0, \text{ otherwise }. \end{cases}$

c = \frac{1}{P r o b {| | X | | \geq a}}

$c=\frac{1}{Prob\big\{||X||\geq a\big\}}$

이제 다음을 관찰합니다.

만약 $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ , $||x||\geq a$

$\implies |x_n|\geq T\triangleq \sqrt{\max\left(0,\left(a^2-\sum_1^{n-1}x_i^2\right)\right)}$

따라서 가우스 샘플로 을 선택하면 을 잘린 정규 분포 에서 샘플로 $x_1,\ldots,x_{n-1}$ 제한 할 수 있습니다 (가우스 꼬리 따름). $x_n$ $\geq T$ ) 분포 $\mathcal{N}_T(0,\sigma^2)$ 확률이 무작위로 선택된 부호를 제외하고 $1/2$ .

이제 내 질문은

나는 발생하는 경우 각각의 벡터 샘플을 $(x_1,\ldots,x_n)$ 의 $(X_1,\ldots,X_n)$ 등을,

$x_1,\ldots,x_{n-1}\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

과

$x_n = Z_1 *Z_2~$ 여기서 $~Z_1\sim\{\pm1 ~\text{w.p.}~ 1/2\}$ , $Z_2\sim\mathcal{N}_T(0,\sigma^2)$ , 즉 a 와 함께 잘린 스칼라 정규 RV $T(x_1,\ldots,x_{n-1})\triangleq \sqrt{\max\left(0,\left(a^2-\sum_1^{n-1}x_i^2\right)\right)}$

윌 될 규범 제약 ( ) 다변량 가우시안? (즉, 위에서 정의한 와 동일 ). 어떻게 확인해야합니까? 이것이 아닌 경우 다른 제안? $(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $\geq a$ $Y$

편집하다:

다음은 규범이 "1"보다 큰 값으로 잘린 2D 경우 점의 산점도입니다. 규범 잘린 다변량 가우스

참고 : 아래에는 훌륭한 답변이 있지만이 제안이 왜 틀린지에 대한 정당성은 없습니다. 사실, 이것이이 질문의 주요 포인트입니다.

normal-distribution simulation random-generation

— 확률을 사랑
소스

1

@ Xi'an 질문과 관심에 감사드립니다. 여기 요점에 대한 나의 추론이 있습니다 : 문제의 알고리즘은 RVs 필요로합니다 . 즉, 샘플마다 볼 때 가우시안과 잘린 가우시안입니다 . 보다 구체적으로, 분포 중 하나는 샘플마다 다릅니다. 그것들은 각각의 한계 가 아닙니다 . 각 은 와 두 가지 용어로 나타납니다 . 및 절단 임계 값이 모든 샘플에 따라 다릅니다으로 명확하게 시간 VARYING입니다. 제공 한 분해 증거는 정확히 같은 의미에서 문제가 있습니다. 한계는 사용할 수 없습니다.

X_{1} \dots X_{n}

$X_1\ldots X_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, i = 1, \dots, n - 1

$x_i,i=1,\ldots,n-1$

x_{i}

$x_i$

x_{n}

$x_n$

x_{n}

$x_n$

— 확률을 사랑

(잘못된) 알고리즘은 먼저 생성 한 다음 주어진 . 따라서 1 세대는 한계에서, 2 세대는 조건부에서 나옵니다. 내 증거는 한계가 (n-1) 차원 가우스 분포가 아니라는 것을 보여줍니다.

X_{1}, \dots, X_{n - 1} \sim N (0, σ^{2})

$X_1,\ldots,X_{n-1}\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$

X_{n} \sim N_{T} (0, σ^{2})

$X_n\sim\mathcal{N}_T(0,\sigma^2)$

X_{1}, \dots, X_{n - 1}

$X_1,\ldots,X_{n-1}$

— Xi'an

@ Xi'an 조건부 가우스는 한계 가우시안을 의미하지 않습니다 !!

— 확률을 좋아한다

@ Xi'an 좋아, 내 요점은 이것입니다. 경우 가우시안로서 생성되고, 이후의 용어는이 값에 의존의 marginals 되지 가우시안 일. 당신이 말한 것은 정확히 같습니다. "조건부 가우시안"일 수도 있지만 "마지막 가우스"는 아닙니다. 내 이전 의견은 그것을 의미합니다.

X_{1}, \dots, X_{n - 1}

$X_1,\ldots,X_{n-1}$

X_{1}, \dots, X_{n - 1}

$X_1,\ldots,X_{n-1}$

— 확률을 좋아한다

1

@ Xi'an 환자의 답변에 감사드립니다. 나는 당신의 자극에 대한 나의 실수를 마침내 이해했으며, 또한 그것을 설명하는 내 자신의 상세한 답변을 작성했습니다 . 그러나 죄송합니다. 걱정하지 마십시오. 실제로 문제를 해결하는 데 도움이되는 자세한 설명에 대해서는 whuber의 답변을 수락해야합니다.

— 확률을 좋아한다

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의 다변량 정규 분포 는 구형 대칭입니다. 분포는 반경 자릅니다 추구 에서 아래 . 이 기준은 길이에만 의존하기 때문에 잘린 분포는 구형 대칭으로 유지됩니다. 는 구면 각도 무관 하므로 그리고 있다 분포 , 당신은 그러므로 몇 가지 간단한 단계에서 잘립니다 분포 값을 생성 할 수 있습니다 : $X$ $\rho=||X||^2$ $a$ $X$ $\rho$ $X/||X||$ $\rho\,\sigma$ $\chi(n)$

생성 . $X \sim \mathcal{N}(0,\mathbb{I}_n)$
에서 잘린 분포의 제곱근으로 를 생성 합니다. $P$ $\chi^2(d)$ $(a/\sigma)^2$
하자. $Y = \sigma P\, X/||X||$

단계 1에서, 는 표준 정규 변수 의 독립적 실현의 시퀀스로서 획득된다 . $X$ $d$

단계 2에서, 용이 분위수 함수를 반전시킴으로써 생성되는 (A)의 분포 : 균일 변수 생성 사이 (분위수의) 범위에서 지원 및 로 설정하고 . $P$ $F^{-1}$ $\chi^2(d)$ $U$ $F((a/\sigma)^2)$ $1$ $P = \sqrt{F(U)}$

여기 에 차원 에서 에 대한 의 독립적 구현이 아래에 에서 잘린 히스토그램이 있습니다. 알고리즘의 효율성을 증명하는 데 약 1 초가 걸렸습니다. $10^5$ $\sigma P$ $\sigma=3$ $n=11$ $a=7$

빨간색 곡선은 스케일링 된 잘린 분포 의 밀도입니다 . 히스토그램과 밀접하게 일치하는 것은이 기술의 유효성에 대한 증거입니다. $\chi(11)$ $\sigma=3$

잘림에 대한 직관을 얻으려면 차원 의 대소 문자 , 을 고려하십시오 . 다음은 에 대한 의 산점도입니다 ( 독립 실현의 경우). 반경 의 구멍을 명확하게 보여줍니다 . $a=3$ $\sigma=1$ $n=2$ $Y_2$ $Y_1$ $10^4$ $a$

그림 2

마지막으로, (1) 성분 는 (구형 대칭으로 인해) 동일한 분포를 가져야하고 (2) 일 때를 제외하고 공통 분포는 정규가 아닙니다. 같은 사실, 커질 상기 (단변) 정규 분포의 급격한 감소는 표면 근처에 클러스터링 통상 구면 절단 다변량 확률 대부분 발생 -sphere (반경의 ). 따라서 한계 분포는 구간 집중된 스케일 대칭 베타 분포와 근사해야합니다 . 이것은 이전 산점도에서 분명합니다. $X_i$ $a=0$ $a$ $n-1$ $a$ $((n-1)/2,(n-1)/2)$ $(-a,a)$ $a=3\sigma$ 는 이미 2 차원으로 크다 : 점 은 반지름 의 반지 ( 구)를 제한한다 . $2-1$ $3\sigma$

여기서 크기의 시뮬레이션 한계 분포의 히스토그램이다 의 과 사이즈 , (근사하는 베타 분포가 균일) $10^5$ $3$ $a=10$ $\sigma=1$ $(1,1)$

그림 3

문제에 설명 된 절차 의 첫 번째 한계가 정상이므로 (구성 별) 해당 절차는 정확하지 않습니다. $n-1$

다음 R코드는 첫 번째 그림을 생성했습니다. 를 생성하기 위해 단계 1-3을 병렬로 구성된다 . 그것은 변수 변화에 의해 제 2도를 생성하도록 수정 된 , , 및 다음 플롯 명령을 실행 한 후에 발생 하였다. $Y$ adnsigmaplot(y[1,], y[2,], pch=16, cex=1/2, col="#00000010")y

더 높은 수치 해상도를 위해 코드에서 생성 이 수정됩니다. 코드는 실제로 생성 하고이를 사용하여 를 계산 합니다. $U$ $1-U$ $P$

가정 된 알고리즘에 따라 데이터를 시뮬레이션하고, 히스토그램으로 요약하고, 히스토그램을 중첩하는 동일한 기술을 사용하여 문제에 설명 된 방법을 테스트 할 수 있습니다. 방법이 예상대로 작동하지 않음을 확인합니다.

a <- 7      # Lower threshold
d <- 11     # Dimensions
n <- 1e5    # Sample size
sigma <- 3  # Original SD
#
# The algorithm.
#
set.seed(17)
u.max <- pchisq((a/sigma)^2, d, lower.tail=FALSE)
if (u.max == 0) stop("The threshold is too large.")
u <- runif(n, 0, u.max)
rho <- sigma * sqrt(qchisq(u, d, lower.tail=FALSE)) 
x <- matrix(rnorm(n*d, 0, 1), ncol=d)
y <- t(x * rho / apply(x, 1, function(y) sqrt(sum(y*y))))
#
# Draw histograms of the marginal distributions.
#
h <- function(z) {
  s <- sd(z)
  hist(z, freq=FALSE, ylim=c(0, 1/sqrt(2*pi*s^2)),
       main="Marginal Histogram",
       sub="Best Normal Fit Superimposed")
  curve(dnorm(x, mean(z), s), add=TRUE, lwd=2, col="Red")
}
par(mfrow=c(1, min(d, 4)))
invisible(apply(y, 1, h))
#
# Draw a nice histogram of the distances.
#
#plot(y[1,], y[2,], pch=16, cex=1/2, col="#00000010") # For figure 2
rho.max <- min(qchisq(1 - 0.001*pchisq(a/sigma, d, lower.tail=FALSE), d)*sigma, 
               max(rho), na.rm=TRUE)
k <- ceiling(rho.max/a)
hist(rho, freq=FALSE, xlim=c(0, rho.max),  
     breaks=seq(0, max(rho)+a, by=a/ceiling(50/k)))
#
# Superimpose the theoretical distribution.
#
dchi <- function(x, d) {
  exp((d-1)*log(x) + (1-d/2)*log(2) - x^2/2 - lgamma(d/2))
}
curve((x >= a)*dchi(x/sigma, d) / (1-pchisq((a/sigma)^2, d))/sigma, add=TRUE, 
      lwd=2, col="Red", n=257)

— 우버
소스

1

좋은 답변입니다! 그러나 질문에 대한 제안이 실패한 이유를 친절하게 밝혀 줄 수 있습니까? (시안 답은 충분히 만족스럽지 않습니다. 예를 들어 그가 통합 할 때 그의 주장에 문제가 있습니다)

— Loves Probability

1

대단히 감사합니다. 그러나 위의 첫 번째 의견에 대한 답변을 요청할 수 있습니까? 내 제안도 좋은 히스토그램을 충분히 가깝게주는 것 같습니다. 혼란 스러워요 !! 실수는 어디입니까? 이것이 문제의 주요 요점이며 IF CORRECT 인 경우,이 방법은 단지 하나의 "절단 된 가우시안"샘플 만 필요합니다. 기존의 빠른 알고리즘을 사용할 수 있기 때문에 크게 절약 할 수 있습니다 (나눗셈 및 곱셈은 피할 수 있음) 상대적으로 더 복잡한 잘린 ChiSquare의 필요성을 피하십시오)

— 확률을 좋아합니다

2

내가 알 수 있듯이 정규 분포에서 iid를, 양면 잘린 법선에서 을 그리도록 제안 합니다. 그것은 대한 산점도 가 쉽게 드러날 것이기 때문에 잘린 MVN 분포가 아닙니다. 나는 당신의 질문을 그 부분을 이해할 수 없었습니다. 더 일반적으로, 뭔가 않는 이유를 묻는 질문의 부담 없는 작업은 증거 제공하기 위해 아스 커에 수행 작업을. 아마도 그러한 증거를 제공했다면 질문의 본질이 분명해질 것입니다.

X_{1}, \dots, X_{n - 1}

$X_1,\ldots,X_{n-1}$

X_{n}

$X_n$

n = 2

$n=2$

— whuber

1

자세한 내용에 감사드립니다. 당신이 말한대로 2D 산점도를 추가하고 몇 문장을 수정했습니다. 그건 그렇고, 죄송합니다. 증거의 총 부담을 당신에게 이전한다는 의미는 아닙니다. 내 제안은 모든 간단한 점검으로 잘 작동하는 것 같습니다. 따라서 왜 이것이 잘못되었는지 궁금합니다.이 질문의 주요 목적이기도합니다.

— 확률을 좋아한다

1

한계 분포를 살펴 보는 것이 절차의 차이점을 설명 할 수있는 가장 간단한 방법입니다. 이 한계를 보여주기 위해 그림과 코드를 추가했습니다.

— whuber

7

나는 당신이 || y ||를 갖는 점을 원하지 않는다고 가정하여 이것을 작성했습니다. > a, 일반적인 1 차원 절단과 유사합니다. 그러나 | y || > = a 그리고 다른 것들을 버리십시오. 그럼에도 불구하고 | y ||를 갖는 포인트를 실제로 유지하려면 내 솔루션에 대한 명백한 조정이 이루어질 수 있습니다. > = a.

매우 일반적인 기술인 가장 간단한 방법은 Acceptance-Rejection https://en.wikipedia.org/wiki/Rejection_sampling 을 사용하는 것 입니다. Prob (|| X ||> a)가 상당히 낮은 한, 거부가 많지 않기 때문에 상당히 빠릅니다.

제약이없는 다변량 법선에서 표본 값 x를 생성합니다 (문제에 다변량 법선이 구형이라고 기술되어 있지만 기술이 적용되지 않더라도 적용 할 수 있음). || x || <= a, 수락, 즉 x를 사용하고, 그렇지 않으면 거부하고 새로운 샘플을 생성합니다. 승인 된 샘플이 필요한만큼 나올 때까지이 과정을 반복하십시오. 이 절차를 적용하면 || y || <= a, || y ||이면 0 > a, 귀하의 질문의 시작 부분에 대한 내 수정에 따라. c를 계산할 필요는 없습니다. 실제로 샘플이 거부되는 빈도에 따라 알고리즘에 의해 자동 결정됩니다.

— 마크 L. 스톤
소스

3

+1 저는 여러분의 제안이 비구면 대칭 MVN과 함께 작동하고, 그것이 효과적 일 상황을 명확하게 설명했으며, 거부 샘플링 사용 여부를 결정할 때 거부율을 평가할 필요성을 강조하고 싶습니다.

— whuber

2

그렇습니다. 또한 여기에서 2 노름이 임계 값 위나 아래가 아닌 임의의 모양의 수용 영역에서 작동 할 수 있습니다.

— Mark L. Stone

5

이것은 좋은 시도이지만 "정규화 상수"로 인해 작동하지 않습니다. 관절 밀도 분해

f_{X} (x) \propto \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{n / 2}} \exp (- \frac{| | x | |^{2}}{2 σ^{2}}) I_{| | x | | > a} = \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{n / 2}} \exp (- \frac{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{2 σ^{2}}) I_{| | x | | > a}

$f_X(x) \propto \frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{n/2}} \exp\left(-\frac{||x||^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||x||>a}=\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{n/2}} \exp\left(-\frac{x_1^2+\ldots+x_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||x||>a}$

f_{X} (x) \propto \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{(n - 1) / 2}} \exp (- \frac{| | {엑스}_{- 엔} | |^{2}}{2 σ^{2}}) \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{1 / 2}} 특급 (- \frac{{엑스}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{| | 엑스 | | > ㅏ}

$f_X(x) \propto \frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{(n-1)/2}} \exp\left(-\frac{||x_{-n}||^2}{2\sigma^2}\right)\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{1/2}} \exp\left(-\frac{x_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||x||>a}$

= \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{(엔 - 1) / 2}} 특급 (- \frac{| | {엑스}_{- 엔} | |^{2}}{2 σ^{2}}) \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{1 / 2}} 특급 (- \frac{{엑스}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{| | {엑스}_{- 엔} | |^{2} + {엑스}_{엔}^{2} > ㅏ^{2}}

$=\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{(n-1)/2}} \exp\left(-\frac{||x_{-n}||^2}{2\sigma^2}\right)\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{1/2}} \exp\left(-\frac{x_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||x_{-n}||^2+x_n^2>a^2}$

= \frac{피 ({엑스}_{엔}^{2} > ㅏ^{2} - | | {엑스}_{- 엔} | |^{2})}{{(2 π σ^{2})}^{(엔 - 1) / 2}} 특급 (- \frac{| | {엑스}_{- 엔} | |^{2}}{2 σ^{2}})

$=\frac{\mathbb{P}(X_n^2>a^2-||x_{-n}||^2)}{{(2\pi\sigma^2)}^{(n-1)/2}} \exp\left(-\frac{||x_{-n}||^2}{2\sigma^2}\right)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

\times \frac{피 ({엑스}_{엔}^{2} > ㅏ^{2} - | | {엑스}_{- 엔} | |^{2})^{- 1}}{{(2 π σ^{2})}^{1 / 2}} 특급 (- \frac{{엑스}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{{엑스}_{엔}^{2} > ㅏ - | | {엑스}_{- 엔} | |^{2}}

$\qquad\qquad\qquad\times\frac{\mathbb{P}(X_n^2>a^2-||x_{-n}||^2)^{-1}}{{(2\pi\sigma^2)}^{1/2}} \exp\left(-\frac{x_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{x_n^2>a-||x_{-n}||^2}$ 로 통합한다 에 쇼 그

{에프}_{{엑스}_{- 엔}} ({엑스}_{- 엔}) \propto \frac{피 ({엑스}_{엔}^{2} > ㅏ^{2} - | | {엑스}_{- 엔} | |^{2})}{{(2 π σ^{2})}^{(엔 - 1) / 2}} 특급 (- \frac{| | {엑스}_{- 엔} | |^{2}}{2 σ^{2}})

$f_{X_{-n}}(x_{-n}) \propto \frac{\mathbb{P}(X_n^2>a^2-||x_{-n}||^2)}{{(2\pi\sigma^2)}^{(n-1)/2}} \exp\left(-\frac{||x_{-n}||^2}{2\sigma^2}\right)$

x_{n}

$x_n$

다른 성분 을 의 조건부 분포 는 잘린 정규 분포입니다. $X_n$ $X_{-n}$
다른 구성 요소 의 한계 분포는 추가 용어 때문에 정규 분포 가 아닙니다 . ; $X_{-n}$ $\mathbb{P}(X_n^2>a^2-||x_{-n}||^2)$

이 속성을 활용할 때 볼 수있는 유일한 방법은 잘린 정규 조건부 분포를 사용하여 한 번에 한 구성 요소 인 Gibbs 샘플러를 실행하는 것입니다.

— 시안
소스

1

자세한 답변을 주셔서 감사합니다. 간단히 밀도 (두 번째 eq) 아래의 면적은 1이 아닙니다! --- 일단 수정되면, 당신이 말하는 "정규화 요소"를 취소 할 것이라고 생각합니다. 이견있는 사람?

f_{X} (x)

$f_X(x)$

— 확률을 좋아한다

3

이 문제는 벡터 샘플을 그리기 위해 관절 분포의 기본 조건부 분해를 사용한다는 아이디어에서 비롯됩니다.

를 iid 성분을 가진 다변량 가우스로 하자 . $X$

하자 와 $\text{Prob}(||X||>a) \triangleq T$ $Y\triangleq X.\mathbb{I}_{||X||>a}$

해당 알고리즘은 다음의 (올바르지 만기만 해석) 조건부 인수 분해를 기반으로 제안됩니다.

{에프}_{와이} (와이) = \frac{1}{티} \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{엔 / 2}} 특급 (- \frac{| | 와이 | |^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{| | 와이 | | > ㅏ} = \frac{1}{티} \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{엔 / 2}} 특급 (- \frac{{와이}_{1}^{2} + \dots + {와이}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{| | 와이 | | > ㅏ} = (\prod_{나는 = 1}^{엔 - 1} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} 특급 (- \frac{{와이}_{나는}^{2}}{2 σ^{2}})) (\frac{1}{티} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} 특급 (- \frac{{와이}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{| | 와이 | | > ㅏ}) = \underset{가우시안}{\underset{⏟}{(\prod_{나는 = 1}^{엔 - 1} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} 특급 (- \frac{{와이}_{나는}^{2}}{2 σ^{2}}))}} \underset{잘린 가우시안 ??}{\underset{⏟}{(\frac{1}{티} \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} 특급 (- \frac{{와이}_{엔}^{2}}{2 σ^{2}}) {나는}_{{와이}_{엔}^{2} > (ㅏ^{2} - {와이}_{1}^{2} - \dots {와이}_{엔 - 1}^{2})})}}

$f_Y(y) = \frac{1}{T}\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{n/2}} \exp\left(-\frac{||y||^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||y||>a}\\ =\frac{1}{T}\frac{1}{{(2\pi\sigma^2)}^{n/2}} \exp\left(-\frac{y_1^2+\ldots+y_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||y||>a}\\ =\left(\prod_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{y_i^2}{2\sigma^2}\right)\right) \left(\frac{1}{T}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{y_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{||y||>a}\right)\\ =\underbrace{\left(\prod_{i=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{y_i^2}{2\sigma^2}\right)\right)}_{\text{Gaussians}} \underbrace{\left(\frac{1}{T}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{y_n^2}{2\sigma^2}\right)\mathbb{I}_{y_n^2>(a^2-y_1^2-\ldots y_{n-1}^2)}\right)}_{\text{Truncated Gaussian??}}$

가장 짧은 대답은 후자의 요소가 잘린 가우시안이 아니며, 더 중요한 것은 분포도 아니라는 것입니다.

위의 인수 분해 자체에 몇 가지 근본적인 결함이있는 이유에 대한 자세한 설명은 다음과 같습니다. 한 문장에서 : 주어진 공동 분포의 조건부 인수 분해는 매우 기본적인 특성을 충족해야하며, 위 인수 분해는이를 충족시키지 않습니다 (아래 참조).

일반적으로 를 하면 는 와 의 한계입니다 는 의 조건부 분포입니다 . 다음을 의미합니다. $f_{XY}(x,y)=f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x)$ $f_X(x)$ $X$ $f_{Y|X}(y|x)$ $Y$

로 가정 한 의 계수 는 분포 여야합니다. 과, $f(x,y)$ $f_X(x)$
"로 가정 된" 의 두 번째 요소 는 선택할 때마다 분포 여야합니다. $f_{Y|X}(y|x)$ $x$

위의 예에서 우리는 으로 조건을 하려고합니다 . 이는 가우스 요소에 대해 property-1을 보유하고 후자에 대해서는 property-2를 양호하게 유지해야 함을 의미합니다. $Y_n|(Y_1\ldots Y_{n-1})$

속성 -1이 첫 번째 요소에 적합하다는 것이 분명합니다. 그러나 문제는 재산 -2에 있습니다. 위의 마지막 요소는 불행히도 의 거의 모든 값에 대한 분포 Gaussian은 잊어 버리지 않습니다 !! $(Y_1\ldots Y_{n-1})$

알고리즘의 제안은 아마도 다음과 같은 오해의 결과 일 것입니다. 분포가 자연스럽게 (위의 가우시안과 같은) 공동 분포에서 자연스럽게 인수 분해되면 조건부 인수 분해가 발생합니다. ---- 그렇지 않습니다! ---- 다른 (두 번째) 요소도 양호해야합니다.

참고 : @whuber는 이전에 잘린 다변량 가우시안 생성 문제를 실제로 해결하는 훌륭한 대답이 있습니다. 나는 그의 대답을 받아들이고있다. 이 답변은 내 자신의 이해와 질문의 기원을 명확히하고 공유하기위한 것입니다.

— 확률을 사랑
소스

2

+1 의견을 보내 주셔서 감사합니다.이 주제에 대한 귀중한 통찰력을 추가합니다.

— whuber