on- 선과 on- 선의 이변 량 회귀 계수의 곱이 상관의 제곱과 동일한 이유는 무엇 입니까?

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이고 이고 인 회귀 모델이 있는데 , 의 상관 계수가 있습니다. $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

경우 및 다음 주위 전환 방정식이된다 및 , 그것은 또한 갖는다 값 . $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

누군가 도 이유를 누군가가 설명 할 수 있기 를 . $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— 마이크
소스

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$b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ 및 이므로 입니다. $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

많은 통계 교과서가 이것에 대해 언급 할 것입니다. 나는 Freedman et al., Statistics를 좋아한다 . 참조 여기 와 이 위키 피 디아 기사 .

— 칼
소스

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상관 계수를 살펴볼 수있는 13 가지 방법을 살펴보십시오. 특히 3, 4, 5 방법이 가장 중요합니다.

Rodgers, JL, & Nicewander, WA (1988). 상관 계수를 보는 13 가지 방법 . 미국 통계 학자, 42, 1 , 59-66 쪽.

— 궁금한
소스

2

이것은 아마도 주석이었을 것입니다. 연결이 끊어졌습니다. 링크를 업데이트하고 전체 인용을 제공했습니다. 연결이 다시 끊어 지더라도 여전히 유용한 정보를 제공하거나 추가 정보를 제공 할 수 있습니까?

— gung-모니 티 복원

2

Rodgers & Nicewander 기사는 stats.stackexchange.com/q/70969/22228 사이트에 요약되어 있습니다 .

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

많은 입문 텍스트가 정의한다는 것을 기억하십시오

{에스}_{엑스 와이} = \sum_{나는 = 1}^{엔} ({엑스}_{나는} - \bar{엑스}) ({와이}_{나는} - \bar{와이})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

그 다음 설정 같이 우리가 과 마찬가지로 . $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

상관 계수 , on- 회귀 의 기울기 ( ) 및 on- 회귀 의 기울기 ( )에 대한 공식 은 종종 다음과 같이 제공됩니다. $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & 아르 자형 & = \frac{{에스}_{엑스 와이}}{\sqrt{{에스}_{엑스 엑스} {에스}_{와이 와이}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{와이 의 위에 엑스} & = \frac{{에스}_{엑스 와이}}{{에스}_{엑스 엑스}} \\ (삼) & {\hat{β}}_{엑스 의 위에 와이} & = \frac{{에스}_{엑스 와이}}{{에스}_{와이 와이}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

이어서 승산 및 명백히의 제곱 범 : $(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{와이 의 위에 엑스} \cdot {\hat{β}}_{엑스 의 위에 와이} = \frac{{에스}_{엑스 와이}^{2}}{{에스}_{엑스 엑스} {에스}_{와이 와이}} = {아르 자형}^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

또는 , 및 에서 분수의 분자와 분모를 종종 또는 로 나눠서 표본 또는 추정 된 분산 및 공분산으로 프레임을 구성합니다. 예를 들어 에서 추정 된 상관 계수는 추정 된 표준 편차로 스케일링 된 추정 된 공분산입니다. $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & 아르 자형 & = \hat{코르} (엑스, 와이) = \frac{\hat{코브} (엑스, 와이)}{\hat{SD (엑스)} \hat{SD (와이)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{와이 의 위에 엑스} & = \frac{\hat{코브} (엑스, 와이)}{\hat{바르 (엑스)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{엑스 의 위에 와이} & = \frac{\hat{코브} (엑스, 와이)}{\hat{바르 (와이)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

그런 다음 와 을 곱하면 $(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{와이 의 위에 엑스} {\hat{β}}_{엑스 의 위에 와이} = \frac{\hat{코브} (엑스, 와이)^{2}}{\hat{바르 (엑스)} \hat{바르 (와이)}} = {(\frac{\hat{코브} (엑스, 와이)}{\hat{SD (엑스)} \hat{SD (와이)}})}^{2} = {아르 자형}^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

대신 공분산을 "확대 된"상관 관계로 작성하기 위해 를 재 배열했을 수 있습니다 . $(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

이어서 치환하여 에 및 우리는 같은 회귀 계수를 다시 작성할 수도 $(7)$ $(5)$ $(6)$ 및 $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ . 이 값을 곱하면도 생성되며 이것이 @Karl의 솔루션입니다. 이런 식으로 기울기를 작성하면상관 계수를 표준화 된 회귀 기울기로 보는방법을 설명하는데 도움이됩니다. $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

마지막으로 귀하의 경우 $r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

$\sgn$ $+1$ $-1$

— 은어
소스

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당신은 찾을 수 이 답변 이 명시 적으로 질문은 여기에 물어 해결하지 않더라도 관심을 내합니다.

— Dilip Sarwate