왜도 길들이기… 왜 그렇게 많은 왜도 기능이 있습니까?

이 커뮤니티의 네 가지 유형의 왜곡에 대해 더 많은 통찰력을 갖기를 바랍니다.

내가 참조하는 유형은 http://www.inside-r.org/packages/cran/e1071/docs/skewness 도움말 페이지에 언급되어 있습니다.

이전 방법은 도움말 페이지에서 언급되지 않았지만 그럼에도 불구하고 포함시킵니다.

require(moments)
require(e1071)


x=rnorm(100)
n=length(x)
hist(x)


###############type=1
e1071::skewness(x,type=1)
sqrt(n) * sum((x-mean(x))^3)/(sum((x - mean(x))^2)^(3/2)) #from e1071::skewness source
m_r=function(x,r) {n=length(x); sum((x - mean(x))^r/n);} ##from e1071::skewness help
g_1=function(x) m_r(x,3)/m_r(x,2)^(3/2)
g_1(x) ##from e1071::skewness help
moments::skewness(x) ##from e1071::skewness help
(sum((x - mean(x))^3)/n)/(sum((x - mean(x))^2)/n)^(3/2) ##from moments::skewness code, exactly as skewness help page


###############type=2
e1071::skewness(x,type=2)
e1071::skewness(x,type=1) * sqrt(n * (n - 1))/(n - 2) #from e1071::skewness source
G_1=function(x) {n=length(x); g_1(x)*sqrt(n*(n-1))/(n-2);} #from e1071::help
G_1(x)
excel.skew=function(x) { n=length(x); return(n/((n-1)*(n-2))*sum(((x-mean(x))/sd(x))^3));}
excel.skew(x)


###############type=3
e1071::skewness(x,type=3)
e1071::skewness(x,type=1) * ((1 - 1/n))^(3/2) #from e1071::skewness source
b_1=function(x) {n=length(x); g_1(x)*((n-1)/n)^(3/2); }  #from e1071::skewness help page
b_1(x);
prof.skew=function(x) sum((x-mean(x))^3)/(length(x)*sd(x)^3);
prof.skew(x)

###############very old method that fails in weird cases
(3*mean(x)-median(x))/sd(x)
#I found this to fail on certain data sets as well...

다음은 e1071의 저자가 참조하는 논문입니다. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/1467-9884.00122/pdf Joanes와 CA Gill (1998), 샘플 왜도 및 첨도의 측정 값 비교.

그 논문을 읽은 결과, 유형 # 3에 오류가 가장 적습니다.

위 코드에서 왜도의 예는 다음과 같습니다.

e1071::skewness(x,type=1)
-0.1620332
e1071::skewness(x,type=2)
-0.1645113
e1071::skewness(x,type=3)
-0.1596088
#old type:
0.2694532

또한 e1071의 작성자가 도움말 페이지의 메모와 다른 왜곡 함수를 작성했음을 알았습니다. sqrt에 주목하십시오 :

sqrt(n) * sum((x-mean(x))^3)/(sum((x - mean(x))^2)^(3/2)) #from e1071::skewness source

(sum((x - mean(x))^3)/n)/(sum((x - mean(x))^2)/n)^(3/2) #from moments and e1071 help page

왜 sqrt (n)이 첫 번째 방정식에 있는지 아십니까? 오버플로 / 언더 플로를 더 잘 처리하는 방정식은 무엇입니까? 다른 아이디어가 다른 이유는 있지만 동일한 결과를 생성합니까?

"오래된 방법"으로 설명하는 방법부터 시작하겠습니다. 이것은 두 번째 Pearson 왜도 또는 평균 왜도입니다 . 실제로 모멘트 왜곡과 전반적으로 같은 빈티지입니다 (모멘트 왜곡이 피어슨의 노력보다 우선하기 때문에 중간 왜곡은 실제로 약간 젊습니다).

역사의 일부에 대한 약간의 토론은 여기 에서 찾을 수 있습니다 . 그 게시물은 다른 질문에 약간의 빛을 던질 수도 있습니다.

두 번째 Pearson 왜도 를 사용하여 사이트를 검색 하면이 측정의 동작에 대한 토론이 포함 된 게시물이 상당히 많이 나타납니다.

내 마음의 왜도 측정보다 더 이상하지 않습니다. 그들은 때때로 왜도 측정에 대한 사람들의 기대와 맞지 않는 이상한 일을합니다.

일반적인 형태 $b_1$Wikipedia 에서 논의 됩니다 . 말하자면, 그것은 순간 추정기의 방법이며, 표준화 된 세 번째 순간으로 인구 계산을 고려할 때 자연스럽게 사용하는 것입니다.

하나를 사용하는 경우 $s_n$ ...에 대한 $s_{n-1}$ (예 : 베셀 보정없이) $g_1$언급 한 유형; 그 중 하나는 내가 "순간 방법"이라고 부르는 것입니다. 분모를 편향하려고 노력하는 것이 중요하다는 것은 분명하지 않습니다. 왜냐하면 반드시 비율을 편향하지는 않기 때문입니다. 계산이 사람들이 직접 할 것으로 기대하는 것과 일치하도록 계산하는 것이 합리적 일 수 있습니다.

그러나 누적 률 (위의 Wikipedia 링크 참조) 측면에서 모집단 왜도를 정의하는 두 번째 (동등한) 방법이 있으며 표본 왜도를 위해 편견없는 추정값을 사용한 경우 $G_1$.

[또한 분자를 곱하면 $b_1$ 으로 $\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}$사람들이 그 형태를 보는 또 다른 이유가 될 수 있습니다. 세 번째와 두 번째 모멘트 계산을 모두 편향하려고하면 약간 다른 요소를 얻습니다.$n,(n-1)$ 과 $(n-2)$ 앞으로 나옵니다.]

이 세 가지 모두 세 번째 순간 왜곡에 대한 변형이 약간 다릅니다. 매우 큰 샘플에서는 실제로 사용하는 차이가 없습니다. 더 작은 샘플에서는 모두 약간 다른 바이어스와 분산이 있습니다.

여기에 논의 된 양식은 왜도에 대한 정의를 소진하지 않습니다 (수십에 대해 보았습니다, Wikipedia 기사 는 꽤 많지만 범위를 다루지 않음). -모멘트 왜곡은 여기에서 세 개 이상을 보았습니다.

왜 많은 왜도 측정이 있습니까?

그렇다면 왜 이렇게 많은 3 차원 왜도를 한 번에 하나씩 처리해야합니까? 개념으로서의 왜도 는 실제로 고정하기가 매우 어렵 기 때문 입니다. 실제로 하나의 숫자로 고정 할 수없는 것은 미끄 럽습니다. 결과적으로, 모든 정의는 어떤 식 으로든 적절하지 않지만 그럼에도 불구하고 왜도 측정이해야한다고 생각하는지에 대한 우리의 넓은 의미와 일치합니다. 사람들은 계속해서 더 나은 정의를 찾으려고 노력하지만 QWERTY 키보드와 같은 오래된 방법은 아무데도 가지 않습니다.

왜 세 번째 순간을 기준으로 왜도 측정이 여러 개입니까?

왜 이렇게 많은 3 차 왜도가 존재하는지에 대한 이유는 인구 측정을 표본 측정으로 변환하는 방법이 여러 가지이기 때문입니다. 우리는 모멘트를 기반으로 한 두 개의 경로와 누적을 기반으로 한 두 개의 경로를 보았습니다. 우리는 여전히 더 많은 것을 만들 수 있습니다. 예를 들어, 일부 분포 가정 또는 최소 평균 제곱 오차 측정 또는 그와 같은 수량으로 (작은 샘플) 바이어스되지 않은 측정 값을 얻으려고 시도 할 수 있습니다.

기울기 계몽과 관련된 사이트의 일부 게시물을 찾을 수 있습니다. 대칭은 아니지만 제 3 모멘트 왜곡이 0 인 분포의 예를 보여주는 것들이 있습니다. Pearson 중앙값 왜도를 나타내는 몇 가지가 있으며 세 번째 순간 왜도는 반대 부호를 가질 수 있습니다.

왜 도와 관련된 몇 가지 게시물에 대한 링크는 다음과 같습니다.

평균 = 중앙값은 단봉 분포가 대칭임을 의미합니까?

왼쪽으로 치우친 데이터에서 평균과 중앙값 사이의 관계는 무엇입니까?

특이 치를 사용하여 히스토그램에서 왜도를 결정하는 방법은 무엇입니까?

의 계산에 대한 마지막 질문과 관련하여 $b_1$:

$\sqrt{n} \cdot \frac{\sum{(x-\bar{x})^3}}{(\sum({x - \bar{x}})^2)^{3/2}}\qquad$ #from e1071 :: 비대칭 소스

$\frac{\sum(x - \bar{x})^3/n}{(\sum(x - \bar{x})^2/n)^{3/2}}\qquad$ # 순간 및 e1071 도움말 페이지에서

두 형태는 대수적으로 동일합니다. 두 번째는 "두 번째 순간에 세 번째 순간에 세 번째 순간$\frac32$첫 번째 용어는 $n$남은 음식을 앞쪽으로 가져옵니다. 오버플로 / 언더 플로를 피하기 위해 수행 된 것으로 생각하지 않습니다. 나는 그것이 조금 더 빠르다고 생각 되었기 때문에 이루어 졌다고 생각합니다. [오버플로 또는 언더 플로가 우려되는 경우 계산을 다르게 정렬 할 수 있습니다.]