랜덤 워크의 분산이 증가하는 이유는 무엇입니까?

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임의의 거리 로 정의된다 , 백색 잡음이다. 현재 위치는 이전 위치 + 예상치 못한 용어의 합계임을 나타냅니다. $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ $e_t$

당신은 증명할 수 평균 기능 , 이후 $\mu_t = 0$ $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

그러나 왜 분산이 시간에 따라 선형 적으로 증가합니까?

새로운 위치가 이전 위치와 매우 연관되어 있기 때문에 이것이 "순수한"무작위가 아닌 것과 관련이 있습니까?

편집하다:

이제 무작위 보행의 큰 샘플을 시각화하여 훨씬 더 잘 이해할 수 있으며 여기에서 전체 편차가 시간이 지남에 따라 증가 한다는 것을 쉽게 확인할 수 있습니다 .

100 000 랜덤 워크

평균은 0 정도입니다.

시계 시리즈의 초기 단계 (100과 시간 = 10 비교)에서 임의의 워커가 아직 많이 탐색 할 시간이 없었기 때문에 이것은 사소한 것일 수 있습니다.

— 이비스 터
소스

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시뮬레이션 된 임의의 보행의 "평균"이 특정 의 기대치 와 . 그 예상은 정의에 따라 가능한 랜덤 보행의 전체 "앙상블"에 대해 계산되며 시뮬레이션 된 보행은 단지 하나의 인스턴스입니다. 그래프를 하나의 플롯에 오버레이 하여 많은 보행 을 시뮬레이트 할 때 보행이 수평 축 주위에 퍼져 있음을 알 수 있습니다. 이 스프레드는 따라 어떻게 다릅니 까?

Y_{t}

$Y_t$

t

$t$

— whuber

더 이해가되는 @ whuber! 물론 나는 그것을 가능한 모든 보행의 한 인스턴스로 간주해야합니다. 그리고 네, 모든 보행 의 전체 분산이 시간이 지남에 따라 증가 한다는 그래프를 보면 알 수 있습니다 . 맞습니다?

— Isbister

1

네 맞습니다. @Glen_b가 수학을 사용하여 자신의 답변에 쓴 것을 이해하는 좋은 방법입니다. 고전적인 Brownian 모션 애플리케이션 외에도 확산, 옵션 가격, 측정 오류 누적 등을 설명하는 많은 랜덤 워크 적용에 익숙해졌습니다. 확산과 같은 이들 중 하나를 선택하십시오. 정지 된 물 풀에 떨어지는 잉크 한 방울을 상상해보십시오. 위치는 고정되어 있지만 시간이 지남에 따라 확산됩니다. 이렇게 하면 분산이 증가함에 따라 지속적으로 제로 평균을 볼 수 있습니다 .

— whuber

@ whuber 정말 감사합니다, 나는 그것을 완전히 이해합니다!

— Isbister

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간단히 말해 다음 증분의 분산을 현재 위치에 도달하는 변동성에 계속 추가하기 때문입니다.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$ (독립)
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

우리는 가 와 선형으로 증가 함 을 알 수 있습니다 . $t\sigma^2$ $t$

각 시점에서 평균은 0입니다. 시리즈를 여러 번 시뮬레이트하고 주어진 시간 동안 시리즈 전체에서 평균을 구한 경우 평균은 0에 가까운 것입니다.

표본 평균 및 +/- 표준 편차가있는 500 개의 시뮬레이션 된 랜덤 워크

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

예, 각 오류 용어는 독립적입니다. 그리고 이것은 종이에 의미가 있습니다. 그러나 나는 여전히 "분산이 어떻게 선형 적으로 증가 할 수 있는가"에 대한 좋은 느낌을 얻지 못하지만 평균은 0으로 남아 있습니까? 그것은 거의 모순되는 것처럼 더 현명하게 들립니다. 내 질문에 대답하는 덜 수학적 설명은 어떻습니까?

— Isbister

timpal0l-각 시점에서 평균을 이동시키지 않고 "노이즈"(평균에 대한 분산)에 추가하는 다른 항을 추가합니다. 따라서 평균은 동일하게 유지되지만 분산이 증가합니다 (분포가 나중에 "확산"됨). 그것은 직관적 인 생각이자 일반적인 의미에서 수학이 보여주는 것입니다.

— Glen_b-복지 모니카

1

A.Webb 다이어그램에 감사드립니다 . 아주 좋아요

— Glen_b-복지 주 모니카

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상상하는 방법이 있습니다. 사물을 단순화하기 위해 화이트 노이즈 를 코인 플립 바꾸겠습니다. $e_i$ $e_i$

{이자형}_{나는} = {\begin{matrix} 1 와 피 아르 자형 = .5 \\ - 1 와 피 아르 자형 = .5 \end{matrix}

$e_i = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \text{with} \ Pr = .5 \\ -1 \ \text{with} \ Pr = .5 \end{array} \right.$

이것은 시각화를 단순화합니다. 상상력의 부담을 덜어주는 것 외에는 스위치에 대한 근본적인 것은 없습니다.

자, 당신이 동전 오리발 군대를 모았다고 가정 해보십시오. 그들의 지시는 당신의 명령에 따라 동전을 뒤집어 놓고 결과가 무엇인지에 대한 작업 집계를 유지하고 이전의 모든 결과를 요약하는 것입니다. 각 개별 플리퍼는 랜덤 워크의 인스턴스입니다

여 = {이자형}_{1} + {이자형}_{2} + \dots

$W = e_1 + e_2 + \cdots$

모든 군대를 모아서 예상되는 행동을 취해야합니다.

flip 1: 군대의 약 절반이 머리를, 절반은 꼬리를 뒤집습니다. 군대 전체에 대한 총합의 기대치는 0입니다. 의 최대 값 전체 군대에서은 최소입니다 , 전체 범위는 그래서 . $W$ $1$ $-1$ $2$

flip 2: 플립 헤드 약 절반, 테일 플립 절반. 이 플립의 기대치는 다시 0이므로 모든 플립에 대한 의 기대는 변하지 않습니다. 당신의 군대 중 일부는 이성을 상실했다 , 어떤 사람은 이성을 상실했다 , 그래서 최대 것입니다 최소가 ; 총 범위는 입니다. $W$ $HH$ $TT$ $W$ $2$ $-2$ $4$

...

flip n $W$ $HH \cdots H$ $TT \cdots T$ $n$ $n$ $2n$

이 생각 실험에서 볼 수있는 것은 다음과 같습니다.

도보의 각 단계 가 균형을 이루기 때문에 도보에 대한 기대치는 0 입니다.
보행의 전체 범위는 보행 길이에 따라 선형으로 증가합니다.

직관을 회복하기 위해 표준 편차를 버리고 직관적 인 측정 범위를 사용해야했습니다.

— 매튜 드 루리
소스

1

표준 편차는 선형으로 증가하지 않으므로 최종 설명은 의문의 여지가 있습니다.

— Juho Kokkala

예, 나는 그것을 해결하기 위해 어떤 제안을하려고 생각하고 있습니까? 내가 생각할 수있는 것은 매우 직관적이지 않은 중앙 한계 정리에 호소하는 것입니다.

— Matthew Drury

@JuhoKokkala 나는 당신의 비판에 동의하므로 최종 발언을 제거했습니다.

— Matthew Drury

3

새로운 위치가 이전 위치와 매우 연관되어 있기 때문에 이것이 "순수한"무작위가 아닌 것과 관련이 있습니까?

"순수한"이란 독립성 을 의미하는 것으로 보입니다 . 무작위 보행에서는 단계 만 무작위이며 서로 독립적입니다. 언급했듯이 "위치"는 임의적이지만 상관 관계가 있습니다 . 즉 독립적이지 않습니다 .

$E[Y_t]=0$ $Y_t$ $Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$ $Y_t$ $\mu t$

— 악사 칼
소스

2

다트 판에 다트 던지기 : 직관적 인 설명을위한 다른 예를 들어 보겠습니다. 불즈 아이를 목표로하려고하는 선수가 있는데, 우리는 0이라는 좌표가됩니다. 20cm입니다.

우리는 플레이어에게 하나의 새로운 다트를 던져달라고 요청합니다. 그것이 불즈 아이를 칠 것으로 예상됩니까?

아니요. 평균은 정확히 땡기이지만 던지기를 샘플링 할 때는 땡기 일 가능성이 거의 없습니다.

$t$

그러나 많은 샘플을 취하면 0을 중심으로하는 것을 알 수 있습니다. 다트 플레이어가 불스 아이 (거의 분산)를 거의 누르지 않는 것처럼, 다트를 많이 던지면 다트를 중앙에 배치합니다. 땡기 주위 (평균).

이 예제를 랜덤 워크로 확장하면 평균이 0에 머물러 있어도 시간에 따라 분산이 증가 함을 알 수 있습니다. 랜덤 워크의 경우 직관적으로 알더라도 평균이 0에 머무르는 것이 이상해 보입니다. 거의 원점에서 끝나지 않습니다. 그러나 하나의 다트가 증가하는 분산으로 불즈 아이에 거의 타격을 입지 않지만 다트가 불즈 아이 주위에 멋진 구름을 형성한다는 것을 알 수 있습니다. 평균은 동일합니다 .0.

— 상치
소스

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이것은 스프레드 의 일시적 증가 와 관련된 문제의 현상을 설명하지 않습니다 . 그 증가는 샘플 수의 함수가 아닙니다. 본질적입니다.

— whuber

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t

$t$

0

분산이 시간에 따라 선형 적으로 증가한다는 직관을 얻는 또 다른 방법이 있습니다.

$.1\%$ $1.2\%$ $X$ $365X$

$.1\%$ $\pm .05\%$ $1.2\%$ $\pm .6\%$

글쎄, 우리가 직관적으로 분산을 범위로 생각한다면, 분산은 시간에 따른 리턴과 같은 방식으로 선형 적으로 증가한다는 직관적 인 의미가 있습니다.

— 플러드
소스