표본 최대 값의 분산은 얼마입니까?

랜덤 변수의 최대 값의 분산에 대한 경계를 찾고 있습니다. 즉, 대한 닫힌 형식 수식을 찾고 있는데 , 여기서 은 고정입니다 유한 한 랜덤 변수 세트는 및 분산 합니다. $B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

라고 추론 할 수

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$ 있지만이 한계는 매우 느슨합니다. 숫자 테스트는

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$ 가 가능할 수 있음 을 나타내는 것으로 보이지만 이것을 증명할 수는 없습니다. 도움을 주시면 감사하겠습니다.

variance bounds maximum

— 베드로
소스

(

X_{i}

$X_i$ 가 독립적 이라고 가정 하겠습니까?) 추측은 그럴듯하지만 거짓 인 것 같습니다. 예를 들어,

X_{i}

$X_i$ 가 CDF

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$ ,

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$ ,

iid 인 일부 시도를 수행하십시오

s > 3

$s\gt 3$ . 공통 분산에 대한 최대 분산은

M

$M$ 이 커짐에 따라 제한없이 증가합니다.

— whuber

@ whuber 고마워, 그것은 내가 그 추측을 증명할 수 없었던 이유를 설명한다 :) 나는

X_{i}

$X_i$ 가 독립적 인 경우에 실제로 관심 이있다. 명확히하기 위해, 나는 처음 두 순간 만 사용하는 일반 범위에 주로 관심이 있습니다. 공통 분산보다 더 선명한 일반 경계가 존재하는지 확실하지 않습니다.

— Peter

나는 당신의 합계가 정확하다고 가정합니다 (정확하다고 가정하면 증거의 스케치를 보는 것이 좋을 것입니다). 예를 들어, 초과하지 않는 분산으로 간격 에서 지원하고 에서 을 지원 하도록 합니다. 그런 다음 , 분산 와 같이 축소하여 원하는만큼 부등식을 강화할 수 있습니다. .

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

iid 데이터의 경우 극값 이론은 표본의 최대 수렴이 이루어지는 분포의 분류를 제공하며 원래 분포의 꼬리에 특정 조건이 적용되어 다양한 종류의 점근 분포를 제공합니다. 따라서 나는 이론에 대해 완전히 익숙하지만 두 순간만을 바탕으로 좋은 바운드를 도출 할 수 있을지 의문입니다.

— StasK

답변:

임의의 임의 변수 의 경우 가장 일반적인 범위는 원래 질문에 명시된대로 입니다. 증명 스케치는 다음과 같습니다. X, Y가 IID이면 입니다. 아마도 종속 변수의 벡터 주어 ,하자 동일한 조인트 분포와 독립적이어야 벡터. 어떤을 위해 , 우리는 바인딩 조합에 의해이 을 에서 통합 하면 청구 된 불평등이 발생합니다. $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ $dr$ $0$ $\infty$

경우 확률 사건 IID 지표 다음 확률 이벤트의 지표 인 . 고정 및시키는 제로 경향 우리 얻을 및 . $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— 유발 페레
소스

MathOverflow에 대한 질문 은이 질문과 관련이 있습니다.

IID 랜덤 변수의 경우 번째 최고 값을 차수 통계 라고합니다 . $k$

IID Bernoulli 랜덤 변수의 경우에도 중앙값 이외의 순서 통계량의 분산은 모집단의 분산보다 클 수 있습니다. 예를 들어, 있다 확률 및 확률 및 인 경우, 최대는 확률 인구의 편차가 있으므로, 분산하면서 최대 값은 약 입니다. $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

다음은 주문 통계의 차이에 대한 두 가지 논문입니다.

Yang, H. (1982) "중앙값과 다른 순서 통계의 차이" 황소. Inst. 수학. 아카데 시니카, 10 (2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) "주문 통계의 최대 분산" 앤 Inst. 통계 학자. 수학, 47 (1) pp. 185-193

두 번째 논문에서 최대의 분산에 대한 상한은 합니다. 그들은 평등이 발생할 수는 없지만 IID Bernoulli 랜덤 변수에 대해서는 더 낮은 값이 발생할 수 있다고 지적합니다. $M\sigma^2$

— 더글러스 자레
소스