종속 변수 곱의 편차

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종속 변수 곱의 분산에 대한 공식은 무엇입니까?

독립 변수의 경우 공식은 간단합니다.

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ 그러나 상관 변수의 공식은 무엇입니까?

그런데 통계 데이터를 기반으로 상관 관계를 어떻게 찾을 수 있습니까?

correlation variance

— 리가
소스

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당신이 지적한 익숙한 정체성을 사용하여

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

공분산에 대한 유사한 공식을 사용하여

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

과

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

일반적으로 ${\rm var}(XY)$ 는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

기음 영형 V ({엑스}^{2}, {와이}^{2}) + [V 에이 아르 자형 (엑스) + 이자형 (엑스)^{2}] \cdot [V 에이 아르 자형 (와이) + 이자형 (와이)^{2}] - [기음 영형 V (엑스, 와이) + 이자형 (엑스) 이자형 (와이)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

독립 사례에서 ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$ 줄어 듭니다.

[V 에이 아르 자형 (엑스) + 이자형 (엑스)^{2}] \cdot [V 에이 아르 자형 (와이) + 이자형 (와이)^{2}] - [이자형 (엑스) 이자형 (와이)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

두 개의 $[ E(X)E(Y) ]^{2}$ 조건이 취소되고

V 에이 아르 자형 (엑스) V 에이 아르 자형 (와이) + V 에이 아르 자형 (엑스) 이자형 (와이)^{2} + V 에이 아르 자형 (와이) 이자형 (엑스)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

위에서 지적했듯이.

편집 : 관찰 한 모든 것이 이고 와 별도로 아닌 경우 또는 특별한 경우를 제외하고 (예 : 에 선험적으로 알려진 수단이있는 경우 ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— 매크로
소스

2

왜 E (X2) E (Y2) 대신 [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2]를 사용합니까 ???

1

@ user35458, 그래서 그는 var (X)와 var (Y)의 표현으로 방정식으로 끝날 수 있으므로 OP의 진술과 비슷합니다. E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2입니다.

— Waldir Leoncio

2

이 답변의 타당성에 대해 지금 삭제 된 도전에 응답 (오프라인)하기 위해 결과를 많은 시뮬레이션에서 제품의 분산을 직접 계산하는 것과 비교했습니다. 피할 수 있다면 사용하기에 실용적인 공식은 아닙니다. 큰 용어를 다른 것에서 빼는 것으로 취소함으로써 상당한 정밀도를 잃을 수 있기 때문입니다. 그러나 그것은 요점이 아닙니다. 주의해야 할 한 가지 함정은이 질문이 랜덤 변수에 관한 것 입니다. 결과 는 소프트웨어에 대해 일반적인 것처럼 대신 분모를 사용하여 분산 및 공분산을 계산할 경우 $n$ $n-1$ 데이터 에 적용됩니다 .

— whuber

14

이것은 @Macro 의 매우 훌륭한 답변에 대한 부록 이며 두 개의 상관 랜덤 변수의 곱의 분산을 결정하기 위해 알아야 할 내용을 정확하게 설명합니다. 이후 여기서 , , , 및

\begin{aligned} (1) & var (엑스 와이) & = 이자형 [(엑스 와이)^{2}] - {(이자형 [엑스 와이])}^{2} \\ = 이자형 [(엑스 와이)^{2}] - {(코브 (엑스, 와이) + 이자형 [엑스] 이자형 [와이])}^{2} \\ (2) & = 이자형 [{엑스}^{2} {와이}^{2}] - {(코브 (엑스, 와이) + 이자형 [엑스] 이자형 [와이])}^{2} \\ (삼) & = (코브 ({엑스}^{2}, {와이}^{2}) + 이자형 [{엑스}^{2}] 이자형 [{와이}^{2}]) - {(코브 (엑스, 와이) + 이자형 [엑스] 이자형 [와이])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ 알려진 양으로 가정 할 수 있습니다 . 에서 또는 의 값을 결정할 수 있어야합니다 . . 이것은 일반적으로하기 쉽지 않지만, 이미 지적했듯이 와 가 독립적 인 임의의 변수 인 경우 입니다. 사실, 상관 관계가 아닌 의존성 (또는 그 부족)이 핵심 문제입니다. 우리는 이 아닌 값 대신 과 같다는 것을 알고 있습니다.

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$ 노력의 하나가 값 결정할 도움 또는 가 비록 않는 오른쪽 측면을 단순화를 및 약간.

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

되면 및 있는 의존 후 (흔하다 또는 매우 중요) 특별한 경우, 적어도 하나의 확률 변수, 그것은 인 값 찾을 수 비교적 용이. $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

와 가 상관 계수 공동 정규 랜덤 변수 라고 가정합니다 . 그리고, 에어컨 에 의 조건부 밀도 평균으로하는 정규 밀도 및 분산 . 따라서 $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} 이자형 [{엑스}^{2} {와이}^{2} ∣ 엑스] & = {엑스}^{2} 이자형 [{와이}^{2} ∣ 엑스] \\ = {엑스}^{2} [var (와이) (1 - ρ^{2}) + {(이자형 [와이] + ρ \sqrt{\frac{var (와이)}{var (엑스)}} (엑스 - 이자형 [엑스]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ 이는 의 쿼트 함수입니다. 라고 말하면 반복 기대 법칙에 따르면 여기서 의 오른쪽 은 의 세 번째와 네 번째 순간에 대한 지식으로 계산할 수 있습니다. 많은 텍스트와 참조 서적에서 찾을 수있는 표준 결과 (의미) 나는 그들을 찾아서이 답변에 포함 시키기에는 너무 게으르다).

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & 이자형 [{엑스}^{2} {와이}^{2}] = 이자형 [이자형 [{엑스}^{2} {와이}^{2} ∣ 엑스]] = 이자형 [지 (엑스)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

또한 부록은 : 편지 삭제되지 않음에 @Hydrologist 중 분산 제공 같이 이 수식은 JASA에서 반세기 전에 출판 된 두 논문에서 발췌 한 것입니다. 이 공식은 Hydrologist가 인용 한 논문의 결과를 잘못 표기 한 것입니다. 구체적으로, $XY$

\begin{matrix} (5) & V 에이 아르 자형 [엑스 와이] = {(이자형 [엑스])}^{2} V 에이 아르 자형 [와이] + {(이자형 [와이])}^{2} V 에이 아르 자형 [엑스] + 2 이자형 [엑스] 기음 영형 V [엑스, {와이}^{2}] + 2 이자형 [와이] 기음 영형 V [{엑스}^{2}, 와이] + 2 이자형 [엑스] 이자형 [와이] 기음 영형 V [엑스, 와이] + 기음 영형 V [{엑스}^{2}, {와이}^{2}] - {(기음 영형 V [엑스, 와이])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ 의 mistranscription된다 저널 기사와 마찬가지로 대 와 .

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— 디립 사르 베이트
소스

공동 일반 사례에서 계산에 대해서는 math.stackexchange.com/questions/668641/…

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$

— Samuel Reid