테일러 계열 근사치가 (전체) 기능에 대한 기대치에 언제 수렴됩니까?

일부 일 변량 랜덤 변수 와 전체 함수 대해 형식을 예상하십시오 (즉, 수렴 간격은 전체 실제 선입니다). $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

대한 모멘트 생성 기능이 있으므로 정수 모멘트를 쉽게 계산할 수 있습니다. 주위에 Taylor 계열을 사용한 다음 일련의 중심 모멘트 ( 와 관련하여 기대치를 적용합니다. 이 시리즈를 자릅니다. $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

내 질문은 : 임의 변수의 조건 (및 $f(\cdot)$ 추가되는 조건)에서 용어를 추가 할 때 기대치의 근사가 수렴됩니다 (예 : $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

내 경우 (poisson random variable 및 $f(x) = x^{\alpha}$ ) 에 수렴하지 않는 것처럼 보이기 때문에 이러한 조건이 실패 할 때 정수 순간으로 대략적인 기대치를 찾는 다른 트릭이 있습니까?

expected-value approximation

— jlperla
소스

여기를 참조하십시오 : stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@Jonathan 감사합니다. 수정 내용이 더 명확 해졌습니다. 나는 그것을 깨뜨리지 못했지만 매우 도움이되었습니다. 이것으로부터, 이것이 작동하기에 충분한 조건은 내 임의의 변수가 강하게 집중되어 있습니까? Hoeffding의 불평등 등을 사용 하여이 메모와 비교하는 방법을 정확히 해독하는 데 어려움을 겪고 있습니다.

— jlperla

"포아송 랜덤 변수 및 "는 무슨 뜻입니까? 그게 한두 가지입니까, pdf 란 무엇입니까?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl 이것은 몇 년 전이지만, 기억한다면, 변수는 en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution의 PDF가 있는 대한 입니다 . 그 는 내가 기대했던 함수였습니다. 즉

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

무엇을 요구하는지 잘 모르겠습니다. 원점에 대한 포아송 분포 의 모멘트 가 Touchard 다항식입니다 . 여기서 {braces}는 두 번째 종류의 스털링 번호를 나타냅니다.

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

답변:

가 실제 분석 이라고 가정하면 은 거의 확실하게 (실제로) 수렴 합니다. $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

표준 조건이되는하에 수렴 예상 융합을 의미, 즉 있다 그 일부로서 되도록 . (지배 된 수렴 정리)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

전력 계열이 다음과 같이 절대적으로 수렴되면이 조건이 유지됩니다. 예 : 및

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

푸 아송 랜덤 변수와 , 는 위의 절대 한계 기준의 통합 성이 일반적으로 가능한 가장 약하다는 것을 나타냅니다. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— 남자 이름
소스

-1

함수 f (x)가 전력 계열 확장, 즉 모든 도함수가 존재하는 경우 근사가 수렴됩니다. 특정 임계 값 이상의 미분 값이 0과 같으면 완전히 달성됩니다. Populis [3-4]와 Stark and Woods [4]를 참조 할 수 있습니다.

— 메 흐르 반
소스

"또한 특정 임계 값 이상의 미분 값이 0이면 완전하게 달성됩니다." 도함수가 존재하고 0과 같으면 다항식을 말하는 다른 방법이 아닌가?

— 누적

사실이 아닙니다. 전력 계열 확장 시점에서 "모든 파생물"이 존재하는 경우, 전력 계열은 어디에도 수렴 할 필요가 없습니다 . (표준 예제는 의 Maclaurin 시리즈입니다 ) 또 하나는 시리즈가 어느 시점에서 수렴하더라도 모든 곳에서 수렴 할 필요가 없다는 것입니다. 간단한 예로 Maclaurin 시리즈이 경우 수렴은 랜덤 변수의 세부 사항에 따라 다릅니다. 예를 들어, 에 학생 t 분포가 있고 고려 한다고 가정결국 는 존재하지 않습니다!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber