z-test를 가지고 t-test가 필요한 이유는 무엇입니까?

왜 t- 검정이 "일어남"인지 설명 할 수 있습니까? 모집단 표준 편차를 모르는 경우 (예 : 표본의 표준 편차 만 아는 경우) t- 검정을 사용하도록 배웠지 만 왜 z- 검정과 차이가 나는지 잘 모르겠습니다. .

나는 당신의 질문을 완전히 이해한다고 생각하지 않습니다. 왜 t- 검정을 사용할지 묻고 있습니까?

왜 z- 검정을 사용해야하는지 이해한다면 왜 t- 검정을 사용해야하는지 잘 알고 있어야합니다. 큰 표본의 경우 z- 검정 및 t- 검정은 유사하거나 동일한 결과를 렌더링해야합니다. 그러나 z- 검정은 정규 분포를 가정하지만 t- 검정은 더 작은 표본 크기에서 표본 분포의 불확실성을 고려합니다.

z- 검정 자체는 실제로 귀무 가설을 가정 할 가능성과 대립 가설을 가정 할 가능성 사이의 우도 비율 검정입니다. 알려진 분산이있는 기본 정규 분포를 가정하고 평균 만 검정하면 대수학은 우리가 알고 사랑하는 z- 검정으로 단순화합니다 (DeGroot 1986, pp. 442-447).

동일한 최대 가능성 절차를 사용하지만 분산을 알 수없는 것으로 취급하면 다른 가능성과 비율이 만들어지며 대수를 단순화하면 통계가 제공됩니다.

$$\frac{\sqrt{n}\left(\bar{X}_n - \mu_0\right)}{\sqrt{\frac{S^2_n}{n-1}}}$$ (DeGroot 1986, 485-489 쪽). 위 통계량의 분자가 정규 분포되기 때문에 문제의 검정 분포도 변경됩니다.$\bar{X}$분모는 제곱 법선의 제곱근으로 분포됩니다. $S^2$카이 제곱 랜덤 변수의 제곱근입니다. Gosset (Student)는 임의 변수가있는 경우 다음을 보여주었습니다. $$Y \sim N(0, 1)\\ Z \sim \chi^2_n\\ X \sim \frac{Y}{\sqrt{\frac{Z}{n}}}$$ X는 t 분포와 n 자유 도로 분포됩니다.

따라서 t- 검정은 데이터의 분산 자체를 알 수없고 최대 우도를 통해 추정되는 경우 z- 검정 뒤에있는 동일한 우도 비율 프로세스의 자연스러운 결과입니다.

• DeGroot, MH 확률 및 통계 Addison-Wesley Publishing Company, 1986

엄밀하지 않은 대답은 표본이 비정상적으로 서로 가까이있을 수 있으므로 (실제 모집단 분산과 비교하여) 적은 수의 표본이있을 때 t- 검정을 사용하는 것입니다. 이 경우 t- 통계 공식의 분모가 비정상적으로 작으므로 t- 통계 자체가 비정상적으로 커집니다. 따라서 샘플 수가 적을 때보 다 큰 z-stat를 얻는 것보다 적은 수의 샘플을 가질 때 t-stat에 대해 큰 값을 얻을 가능성이 높으므로 null을 거부하려면 더 큰 값이 필요합니다. 동일한 유의 수준에서 z- 검정보다 t- 검정.

가장 중요한 차별화 요소는 경험상 샘플 크기입니다. $n$ 보다 작다 $30$ t- 테스트를 사용하고 그렇지 않으면 z- 테스트를 사용해야합니다.

두 테스트의 기본 가정과 차이점 (및 유사점)에 대한 개요는 다음과 같습니다.
http://www.le.ac.uk/bl/gat/virtualfc/Stats/ttest.html