랜덤 변수

랜덤 변수의 의존성과 랜덤 변수의 기능에 대해 말할 수 있습니까? 예를 들어 $X^2$ 는 $X$ ?

다음은 약간의 왜곡으로 @cardinal의 주석에 대한 증거입니다. 만약 와 F ( X ) 되어 독립적 인 다음 P ( X ∈ ∩ F - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ , F ( X ) ∈ B $X$$f(X)$ A=f-1(B)를 취하면 방정식 P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, 이는 두 용액을 0과 1 갖는다 따라서P(F(X를

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ 모두 B . 완전한 일반성으로는 더 이상 말할 수 없습니다. 경우 X 및 F ( X는 ) 무관하고 f를 ( X는 ) 어떤 위해 이러한 변수 등이며 B 가의 하나 인 B 이상에서 B의 C , 예를 자세히 말 한 필요 이상의 가정과 확률 1. 그 싱글 세트 { b } 는 측정 가능하다.$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$$f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$

그러나 측정 이론 수준의 세부 사항은 OP의 주요 관심사 인 것으로 보이지 않습니다. 경우 진짜이고 F는 실제 함수이다 (우리가 사용 보렐 σ -algebra, 말), 다음 촬영 B = ( - ∞ , B는 ] 이 분포에 대한 분포 함수 것을 다음 f는 ( X ) 만 소요 값 0과 1이므로 b 가 0 에서 1로 점프 하고 P ( f ( X ) = b ) = 1 인 $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

하루가 끝나면 OPs 질문에 대한 대답은 와 f ( X ) 는 일반적으로 매우 특수한 상황에서 독립적이며 독립적입니다. 또한 Dirac 측정 값 δ f ( x )는 항상 X = x가 주어지면 f ( X ) 의 조건부 분포에 적합합니다 . 이는 X = x 를 아는 경우 공식적으로 f ( X ) 를 알고 있다는 공식적인 방법입니다$X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$입니다. 변성 조건부 분포를 갖는 이러한 특수한 의존성은 랜덤 변수의 함수에 특징적입니다.

보조 정리 :하자 확률 변수하고하자 F가 되도록 (보렐 측정) 함수일 X 및 F ( X는 ) 독립적이다. 그러면 f ( X ) 는 거의 확실합니다. 즉, 일부가 ∈ R 되도록 P ( f는 ( X ) = ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

증거는 다음과 같습니다. 그러나 먼저 몇 가지 언급이 있습니다. Borel 측정 가능성은 합리적이고 일관된 방식으로 확률을 할당 할 수있는 기술적 조건 일뿐입니다. "거의 확실하다"는 또한 기술 일뿐입니다.

정리의 본질은 만약 우리가 와 f ( X ) 가 독립적 이기를 원한다면 , 우리의 유일한 후보는 f ( x ) = a 형식의 함수들이라는 것 입니다.$X$$f(X)$$f(x) = a$

Contrast this with the case of functions $f$ such that $X$ and $f(X)$ are uncorrelated. This is a much, much weaker condition. Indeed, consider any random variable $X$ with mean zero, finite absolute third moment and that is symmetric about zero. Take $f(x) = x^2$, as in the example in the question. Then 이므로 X 와 f ( X ) = X 2 는 서로 관련이 없습니다.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

아래에서 나는 정리에 대한 가장 간단한 증거를 제시합니다. 모든 세부 사항을 최대한 명확 하게하기 위해 매우 장황 하게 만들었습니다 . 누구든지 그것을 개선하거나 단순화하는 방법을 알게되면, 나는 즐겁게 알고 있습니다.

증거의 아이디어는 우리가 알고있는 경우 직관적으로, , 우리는 알고 F ( X을 ) . 그래서 우리는 몇 가지 이벤트 찾을 필요가 σ ( X ) 에 의해 생성 된 시그마 대수 X 에 대한 우리의 지식에 관한 것으로, X를 의에 F ( X을 ) . 그런 다음 해당 정보를 X 와 f ( X )의 독립으로 가정 하여 사용 가능한 f에 대한 선택 이 심각하게 제한되었음을 보여줍니다 .$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

표제어 증명 : 리콜 및 Y가 독립적 인 경우에만 모든 경우 ∈ σ ( X ) 및 B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ , Y ∈ B ) = P ( X ∈ ) P ( Y ∈ B ) . 하자 Y = F ( X ) 일부 보렐 측정 기능에 대한 $X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.