음 이항 분포에 대한 최대 가능성 추정기

문제는 다음과 같습니다.

모수 k = 3 인 음 이항 분포에서 n 값의 랜덤 표본을 수집합니다.

1. 모수 π의 최대 우도 추정값을 찾습니다.
2. 이 추정기의 표준 오차에 대한 점근 공식을 찾으십시오.
3. 모수 k가 충분히 크면 음 이항 분포가 왜 정규 분포인지를 설명하십시오. 이 정규 근사의 매개 변수는 무엇입니까?

내 작업은 다음과 같습니다.
1. 이것이 원하는 것 같지만 여기에 정확한지 또는 제공된 정보를 바탕으로이 정보를 더 얻을 수 있는지 잘 모르겠습니다.

2. 나는 다음과 같은 것이 요구된다고 생각한다. 마지막 부분에서는 $\hat{\pi}$ 를 $\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. 나는 이것을 증명하는 방법을 확신하지 못하고 여전히 연구하고 있습니다. 어떤 힌트 나 유용한 링크도 대단히 감사하겠습니다. 음의 이항 분포가 기하 분포의 모음 또는 이항 분포의 역으로 ​​볼 수 있지만 접근 방법에 대해 잘 모르는 사실과 관련이 있다고 생각합니다.

어떤 도움이라도 대단히 감사하겠습니다.

1.

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

이것을 0으로 설정하십시오.

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2.

두 번째 부분에서는 정리를 사용해야합니다. , 는 피셔 정보입니다. 따라서, 표준 편차 것 . 또는 CLT를 사용하기 때문에 표준 오류라고 부릅니다.$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

따라서 음 이항 분포에 대한 Fisher 정보를 계산해야합니다.

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

주 : 음 이항 PMF에 대한$E(x) =\frac{k}{\pi}$

따라서 의 표준 오류 는$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

간단히 우리는$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

삼.

기하 분포는 k = 1 일 때 음 이항 분포의 특수한 경우입니다. 참고 은 기하 분포입니다.$\pi(1-\pi)^{x-1}$

따라서 음의 이항 변수는 k 개의 독립적이고 동일하게 분포 된 (기하학적) 랜덤 변수의 합으로 쓸 수 있습니다.

따라서 매개 변수 k가 충분히 크면 CLT 음 이항 분포는 대략 정상입니다.