정규 분포에서 x의 예상 값, 특정 값보다 낮음

특정 값보다 낮은 경우 (예를 들어, 평균 값 미만) x가 정상적으로 분포되어 있으면 x의 예상 값을 찾을 수 있는지 궁금합니다.

normal-distribution conditional-probability expected-value

— 재스민 속
소스

물론 가능합니다. 최소한 무차별 힘 계산할 수 있습니다. 또는 및 를 알고 있으면 시뮬레이션을 사용하여 추정 할 수 있습니다.

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton이 수식에는 오타가 있지만 아이디어를 얻었습니다. 내가 궁금한 것은 임계 값이 평균보다 훨씬 낮을 때 시뮬레이션을 정확히 어떻게 실행할 것인가입니다.

— whuber

@whuber 예, 는 여야합니다 . 가 0에 가까울 때 시뮬레이션을 수행하는 것은 현명하지 않지만 어쨌든 정확한 공식이 있음을 지적했습니다.

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@dsaxton 좋아요, 충분합니다. 정규 분포의 꼬리에서 시뮬레이트하기위한 일종의 영리하고 간단한 아이디어를 염두에두기를 바랐습니다.

— whuber

Math.SE에서 거의 같은 질문 : math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

답변:

평균 및 분산 갖는 정규 분포 변수 는 와 동일한 분포를 가지며, 여기서 는 표준 정규 변수입니다. 에 대해 알아야 할 것은 $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

누적 분포 함수는 . $\Phi$
확률 밀도 함수 가 있으며, $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ 입니다.

처음 두 글 머리 기호는 표기법 및 정의입니다. 세 번째 글 머리 기호는 정규 분포의 유일한 특수 속성입니다.

"확실한 값"을 . 에서 로의 변경을 예상하여 다음을 정의하십시오. $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

그래서

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

그런 다음 조건부 기대의 정의부터 시작하여 선형성을 활용하여

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

미적분학의 기본 정리는 끝점에서 함수를 평가하여 미분의 적분을 찾을 수 있다고 주장합니다. . 이것은 두 적분에 모두 적용됩니다. 두 이후 와 에서 사라지게해야한다 , 우리는 획득 $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

그것은 원래의 평균을 뺀 값에 보정 항 비례의 역 밀스 비율 .

예상 한 바와 같이, 대한 역 밀스 비율은 양수이고 초과해야합니다 (그 그래프는 빨간색 점선으로 표시됨). 커짐에 따라 으로 줄어 들어야 하므로 (또는 ) 에서 잘림 이 거의 변하지 않습니다. 매우 음으로 증가 함에 따라 정규 분포의 꼬리가 너무 빨리 감소하여 왼쪽 꼬리의 거의 모든 확률이 오른쪽 근처에 집중되기 때문에 역 밀 비율은 접근해야합니다 ( ). $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

마지막 때 평균에서 인 , 역 커터 비가 동일 . 이것은의 기대 값을 의미 ((A)의 음극 인 그 평균 잘릴, 반 정규 분포 )이다 배의 표준 편차를 원래의 평균을 아래. $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— 우버
소스

일반적으로 에 분포 함수 있습니다. $X$ $F(X)$

우리가 가지고 , 사용자는 예를 들어, 복용 특별한 경우를 얻을 수있다 산출, . $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

조건부 cdfs를 사용하면 조건부 예상에 사용할 수있는 조건부 밀도 (예 : 경우 를 얻을 수 있습니다. $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

귀하의 예에서 부분으로 통합하면 @ whuber의 답변과 같이 됩니다.

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— 크리스토프 행크
소스

+1 (어떻게 처음 나타 났을 때 이것을 놓쳤다). 첫 번째 부분은 잘린 분포 함수를 얻는 방법에 대한 훌륭한 설명이고 두 번째 부분은 PDF를 계산하는 방법을 보여줍니다.

— whuber