ID 링크가있는 OLS 및 Poisson GLM

내 질문은 포아송 회귀와 GLM에 대한 전반적인 이해가 부족하다는 것을 보여줍니다. 내 질문을 설명하기 위해 가짜 데이터가 있습니다.

### some fake data
x=c(1:14)
y=c(0,  1,  2,  3,  1,  4,  9, 18, 23, 31, 20, 25, 37, 45)

psuedo-R2를 리턴하는 일부 사용자 정의 함수 :

### functions of pseudo-R2

psuR2 <- function(null.dev, model.dev) { 1 - (model.dev / null.dev)}

predR2 <- function(actuals, predicted) { 1 - (sum((actuals - predicted)^2)) / sum((actuals - mean(actuals))^2)}

4 가지 모델에 적합 : OLS, ID 링크가있는 가우시안 GLM, 로그 링크가있는 Poisson GLM, ID 링크가있는 Poisson GLM

#### OLS MODEL
mdl.ols=lm(y~x)
summary(mdl.ols)
pred.ols = predict(mdl.ols)

summary(mdl.ols)$r.squared
predR2(y, pred.ols)

#### GLM MODEL, family=gaussian(link="identity")
mdl.guass <- glm(y~x, family=gaussian(link="identity"), maxit=500)
summary(mdl.guass)
pred.guass = predict(mdl.guass)

psuR2(mdl.guass$null.deviance, mdl.guass$deviance)
predR2(y, pred.guass)

#### GLM MODEL, family=possion (canonical link)
mdl.poi_log <- glm(y~x, family=poisson(link="log"), maxit=500)
summary(mdl.poi_log)
pred.poi_log= exp(predict(mdl.poi_log))  #transform

psuR2(mdl.poi_log$null.deviance, mdl.poi_log$deviance)
predR2(y, pred.poi_log)

#### GLM MODEL, family=poisson((link="identity")
mdl.poi_id <- glm(y~x, family=poisson(link="identity"), start=c(0.5,0.5), maxit=500)
summary(mdl.poi_id)
pred.poi_id = predict(mdl.poi_id)

psuR2(mdl.poi_id$null.deviance, mdl.poi_id$deviance)
predR2(y, pred.poi_id)

마지막으로 예측을 플로팅하십시오.

#### Plot the Fit
plot(x, y) 
lines(x, pred.ols)
lines(x, pred.guass, col="green")
lines(x,pred.poi_log, col="red")
lines(x,pred.poi_id, col="blue")

두 가지 질문이 있습니다.

1. 아이덴티티 링크를 가진 OLS 및 가우시안 GLM에서 나오는 계수와 예측은 정확히 동일합니다. 이것이 항상 사실입니까?

2. OLS 추정 및 예측이 ID 링크가 있는 Poisson GLM과 매우 다르다는 사실에 매우 놀랐습니다 . 두 가지 방법 모두 E (Y | X)를 추정하려고한다고 생각했습니다. 포아송에 신원 링크를 사용할 때 우도 기능은 어떻게 생깁니 까?

1. 예, 같은 것입니다. Gaussian의 MLE은 최소 제곱이므로 ID 링크로 Gaussian GLM을 수행하면 OLS를 수행하는 것입니다.

2. a) " 두 방법 모두 E (Y | X)를 추정하려고했습니다. "

   실제로, 그들은하지만 조건부 기대가 데이터의 함수로 추정되는 방식은 동일하지 않습니다. 분포를 무시하고 (따라서 데이터가 어떻게 가능성에 진입하는지) 평균과 분산 (가중 가중 회귀처럼)으로 GLM에 대해 생각하더라도 포아송의 분산은 평균과 함께 증가합니다. 관측치에 대한 상대적 가중치는 다를 수 있습니다.

   b) " 포아송에 신원 링크를 사용할 때의 우도 기능은 어떻게 보입니까? "

   $\mathcal{L}(\beta_0,\beta_1) = \prod_i e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}/y_i!$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -\lambda_i+{y_i}\log(\lambda_i)-\log{(y_i!)}\,)\quad$ 여기서$\lambda_i=\beta_0+\beta_1 x_i$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -(\beta_0+\beta_1 x_i)+{y_i}\log(\beta_0+\beta_1 x_i)-\log{(y_i!)}\,)$