카드 게임 : 4 장의 카드를 무작위로 뽑고 6 장을 뽑으면, 가장 높은 카드가 가장 높은 카드보다 높을 확률은 얼마입니까?

제목에서 알 수 있듯이 무작위로 4 장의 카드를 뽑고 같은 데크에서 6 장을 뽑으면 가장 높은 카드가 가장 높은 카드를 이길 확률은 얼마입니까?

다른 데크에서 뽑으면 어떻게 바뀌나요?

감사!

probability maximum

— 우다 나오
소스

이것은 집안일입니까?

— Aksakal

이 간단한 질문에는 복잡한 답이 있습니다. 합병증은 두 가지 요인으로 인해 발생합니다.

카드는 교체없이 뽑습니다. (따라서 각 추첨은 추첨에 사용할 수있는 데크의 내용을 변경합니다.)
데크에는 일반적으로 각 값의 카드가 여러 개 있으므로 가장 높은 카드를 사용할 수 있습니다.

합병증은 불가피하므로이 문제에 대한 합리적 일반화를 다루고 특별한 경우를 살펴 보자. 일반화에서 "데크"는 유한 한 수의 카드로 구성됩니다. 이 카드에는 최저값에서 최고 값까지 순위를 지정할 수있는 개의 고유 한 "값"이 있습니다. 있으라 순위 값 (로 최저 및 최고). 한 플레이어는립니다 갑판에서 카드를하고 두 번째 플레이어는립니다 $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ 카드. 첫 번째 플레이어의 손 에서 가장 높은 순위의 카드가 두 번째 플레이어의 손에서 가장 높은 순위의 카드보다 엄청나게 큰 가치는 무엇입니까? 이 이벤트를 : 첫 번째 플레이어의 "승리"라고합니다. $W$

이 밖에도 한가지 방법은 절차가 드로잉 등가임을 주목함으로써 시작 데크의 카드를 제 복용 첫번째 플레이어의 카드로 이들로부터, 나머지 상기 제 플레이어의 카드한다. 이 카드들 중에서 는 가장 높은 값이고 은 그 값의 카드 수입니다. 그녀가 보유하는 경우에만 첫 번째 선수가 승리 그 카드를. 그 특정 카드 사이에서 발견 될 수있는 방법의 수 카드는 $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ ,뽑은모든중에서카드를 배치하는 방법의 수는 $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ . $\binom{a+b}{k}$

이제 기회 최대치이며있다 이러한 카드를 선택할 수있는 기회 밖으로 값의 카드 및 선택 나머지 밖으로 하부 값. 있기 때문에 $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ 카드의 등가 무승부, 답은 $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

$N_0=0$ $a$ $b$

$a$ $b$ $1$

$m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

$m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

R $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

이 인스턴스의 출력은

예상 Pr (a wins) = 0.3132 +/- 0.00464

— 우버
소스

좋은 답변입니다! 각 플레이어가 다른 데크에서

— 뽑아 낼

예, 한 사람이 그리는 것이 다른 플레이어가 그리는 것과 독립적이기 때문에 대답이 변경됩니다. 답은 하나의 랜덤 변수가 다른 변수의 값을 초과하지 않을 확률을 간단하게 계산하기 때문에 더 쉬운 질문입니다.

— whuber

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

@WernerCD 사실이지만 그 효과에 대해 설명했습니다. 슈트에 순위가 있으면 관계가 없으므로 수식이 limari의 설명에 설명 된대로 줄어 듭니다.

— 화려한