GLM에서 정식 링크 함수 계산

정규 링크 함수 $g(\cdot)$ 는 지수 패밀리의 자연 매개 변수에서 비롯된 것으로 생각했습니다 . 가정

f (y, θ, ψ) = \exp {\frac{y θ - b (θ)}{a (ψ)} - c (y, ψ)}

$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$ 다음

θ = θ (μ)

$\theta=\theta(\mu)$ 정규 링크 기능이다. 가라베르누이 분포를예를 들어, 우리가

P (Y = y) = μ^{y} (1 - μ)^{1 - y} = \exp {y \log \frac{μ}{1 - μ} + \log (1 - μ)}

$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$ 따라서 정규 링크 함수

g (μ) = \log \frac{μ}{1 - μ}

$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$

그러나이 슬라이드 를 보면 이라고 주장합니다.

g^{'} (μ) = \frac{1}{V (μ)}

$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$ 이 특정 분포 (및 푸 아송 분포와 같은 다른 분포)에 대해 쉽게 확인할 수 있지만 일반적인 경우에 해당하는 것을 볼 수는 없습니다. 누구나 힌트를 줄 수 있습니까? 감사합니다 ~

generalized-linear-model link-function

— 지위 안
소스

베르누이 변수의 분산 함수는 입니다. 정규 링크 쉽게 확인할 수 있습니다. $V(\mu) = \mu(1-\mu)$ $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

g^{'} (μ) = \frac{1}{μ} + \frac{1}{1 - μ} = \frac{1 - μ + μ}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{V (μ)} .

$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$

일반적인 경우에있어서, 라는 정의로부터 도출된다.

E (Y) = μ = b^{'} (θ) and Var (Y) = b^{″} (θ) a (ψ),

$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$

g

$g$

θ = g (μ) = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$

b^{″} (θ)

$b''(\theta)$

μ

$\mu$

V (μ) = b^{″} (g (μ)) .

$V(\mu) = b''(g(\mu)).$

θ = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(b'(\theta))$

1 = g^{'} (b^{'} (θ)) b^{″} (θ) = g^{'} (μ) V (μ),

$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$

건설에 준 가능도 는 분산 기능의 관점에서 주어진 평균 및 분산 사이의 관계를 시작하는 자연 . 이와 관련하여 파생 방지 는 링크 함수의 일반화로 해석 될 수 있습니다. 예를 들어 325 페이지의 (로그) 유사 가능성 정의 (수식 9.3)를 참조하십시오. )에서 McCullagh 및 Nelder . $V$ $V(\mu)^{-1}$

— NRH
소스

@NRH 감사합니다. 실제로 나는 베르누이 분포와 동등한 것을 알고 있습니다. 일반적인 경우가 궁금합니다. 그리고 참고로, 내가 : 그것을 확인해 보겠습니다 주셔서 감사합니다

— ziyuang

@ziyuang, 일반적인 경우가 포함됩니다.

— NRH

\int f (y, θ, ψ) d y = 1

$\int f(y,\theta,\psi)dy=1$

θ

$\theta$

μ

$\mu$

감사합니다. 그리고 나는 또 다른 참조 링크를 발견했습니다 : fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…

— ziyuang