명성 마술사 역설

영화 The Prestige 의 요령을 알고있을 것입니다 .

[MOVIE SPOILER] 마술사가 인상적인 마술을 발견했습니다. 그는 기계로 들어가서 문을 닫은 다음 방의 다른 쪽에서 사라지고 다시 나타납니다. 그러나 기계는 완벽하지 않습니다. 단지 그를 순간 이동시키는 대신에 기계를 복제합니다. 마술사는 자신이있는 곳에 머무르고 방의 다른쪽에 사본이 만들어집니다. 그런 다음 기계의 마술사가 바닥 아래의 물 탱크에 조심스럽게 떨어지고 익사합니다. 편집 : 마술사의 새 사본이 익사 할 확률은 1/2입니다 (즉, 새로운 사본은 익사 할 확률이 1/2이고 방에 튀어 들어갈 확률은 1/2입니다). 또한 물 탱크는 절대 실패하지 않으며 탱크에 떨어지는 마술사가 죽을 확률은 1입니다.

그래서 마술사는이 트릭을하는 것을 정말로 좋아하지 않습니다. 왜냐하면 당신은 방의 반대편에 있거나 익사 할 곳을 모르기 때문입니다.

이제 역설은 다음과 같습니다. 마술사가 100 번 트릭을 수행한다고 상상해보십시오. 그의 생존 가능성은 무엇입니까?

편집, 추가 질문 : 마술사가 자신의 육체적 인 뇌를 유지하고 새로운 두뇌를 가지지 않을 가능성은 무엇입니까?

빠른 분석 : 한 손으로, 마술사 한 명이 살아 있고 100 명의 익사 마술사가 있으므로 그의 기회는 100 명 중 1 명입니다.

다른 한편으로, 그가 트릭을 할 때마다, 그는 살아남을 확률이 1/2이므로, 그의 기회는 살아남을 수 있습니다. $(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

올바른 답변은 무엇이며 왜 그렇습니까?

probability

— 벤자민 크로우 지에
소스

나는 G.Jay와 까다로운 질문은 "마술사"가 실제로 누구인지에 대한 질문이다. 나는 이것이 철학적 질문보다 통계 적이라고 생각합니다.).

— steffen

@steffen 틀림없이 환상적인 질문에서 유용한 것을 만들기 위해, 복제품에 "H"가 영구적으로 각인되어 있다고 상상해보십시오. 그렇다면 우리는이 트릭을 100 번 수행 한 후에도 마술사가 여전히 "H"를 갖지 않을 가능성은 무엇입니까? 이 경우, 그의 사본 100 개가 작성되었고 각 사본이 사망했습니다. 아직 살아있다.

— whuber

@ whuber : 설명 된 것처럼 질문은 복제본이 생존 할 수있는 복제물이며 컴퓨터에 들어가는 복제물 (첫 번째 반복의 원본)은 100 % 죽을 것이라고 말합니다. 이 작업이 처음 수행 된 후 원본은 죽었습니다. 나는이 역설에 대해 들어 본 적이 없다. 그래서 아마도 질문은 그것을 잘못 언급 한 것일까?

— Izkata

상단에 스포일러 경고를 추가해야합니다.

— Frank Meulenaar

흥미로운 부수적 인 질문이 있습니다. 100 번의 공연이 끝나면 마술사는 100 번이나 살아 남았다는 기억을 갖게 될 것입니다. 베이지안으로서 다음에 생존 할 가능성을 어떻게 평가해야합니까? :-). (나는 잠자는 숲속의 미녀 역설 (Ssleeping Beauty Paradox ) 에서 겉보기에 관련된 질문을했다 .) 나는이 상황과 오늘날 은행과 회사를 운영하는 바가 많은 금융 및 비즈니스 마법사의 마술사와 마술사와 같은 주장을 할 수있다. 운이 좋은 생존자 일뿐입니다. 그러나 나는 그렇게하지 않을 것입니다.

— whuber

답변:

이 실수는 1654 년 페르마 (Fermat), 파스칼 (Pascal) 및 저명한 프랑스 수학자들 사이의 서면 대화에서 증거가되었다 . 간단한 예는 다음과 같습니다.

두 사람이 공정한 동전 두 번 뒤집기의 결과에 대해 도박을합니다. 플립이 헤드이면 A 플레이어가 승리합니다. 그렇지 않으면 플레이어 B가 이깁니다. 플레이어 B의 승리 가능성은 무엇입니까?

거짓 주장은 가능한 결과 집합을 검토하는 것으로 시작합니다.

H : 첫 번째 플립은 머리입니다. 선수 A가 이깁니다.
TH : 두 번째 플립 만 머리입니다. 선수 A가 이깁니다.
TT : 뒤집기가 없습니다. 플레이어 B가 이깁니다.

플레이어 A는 두 번의 기회를 가지며 B는 한 번의 기회 만 있기 때문에 B에 유리한 확률은 (이 주장에 따라) 1 : 2입니다. 즉, B의 확률은 1/3입니다. 이 주장을 변호하는 사람들 중에는 프랑스 과학 아카데미의 창립 멤버 인 Gilles Personne de Roberval 이있었습니다 .

우리는이 토론에서 배운 사람들에 의해 교육을 받았기 때문에 오늘날의 실수는 분명합니다. Fermat은 (정확하지만 확실하지는 않지만) 그 사건 (1)은 마치 게임이 두 번의 플립을 통해 진행된 것처럼 두 가지 경우로 간주되어야한다고 주장했습니다. 실제로 실행되지 않은 가상의 플립 시퀀스를 호출하면 많은 사람들이 불안해집니다. 요즘 우리는 개별 사례의 확률을 계산하는 것이 더 설득력이 있음을 알 수 있습니다. (1)의 기회는 1/2이고 (2)와 (3)의 기회는 각각 1/4입니다. 승은 1/2 + 1/4 = 3/4이고 B가 이길 확률은 1/4입니다. 이 계산은 20 세기 초에 확정 된 확률 공리에 의존하지만 본질적으로 파스칼과 페르마에 의해 1654 년 가을에 설립되었으며 3 년 후 크리스티안 휴 이건 (Christian Huyghens) 에 의해 그의 확률에 대한 간단한 논문으로 유럽 전역에서 대중화되었다. 지금까지 출판), 드 ratiociniis에 루 aleae (기회의 게임에서 계산).

현재의 질문은 100 코인 플립으로 모델링 될 수 있으며, 머리는 죽음을 나타내고 꼬리는 생존을 나타냅니다. "1 in 100"(실제로 1/101이어야 함)에 대한 논쟁은 정확히 같은 결함이 있습니다.

— 우버
소스

@ whuber에는 실제로 +7 버튼이 있어야합니다.

한 손에는 마술사 한 명이 살아 있고 100 명의 익사 마술사가 있으므로 기회는 100 명 중 1 명입니다.

이러한 추론은 암시 적으로 모든 마술사가 과정의 끝에서 살아남을 가능성이 있다고 가정합니다. 그러나 원본 만 100 번의 시도를 모두 견뎌내야하며 최악의 가능성이 있습니다. 원본을 마지막으로 생성 된 복제본과 대조하십시오. 그는 한 번만 생존하면되고 고독한 생존자가 될 확률은 1 in 2입니다.

클론 대신 우리는 단일 제거 토너먼트 (3 월마다 유명한 NCAA 농구 토너먼트와 같은)를 다룬다 고 가정합니다. 원본은 100 라운드를 유지해야하지만 마지막 클론은 토너먼트 결승전에서만 플레이해야합니다. 모든 클론이 끝날 때까지 똑같이 지속되는 것은 아니며 원본은 최악의 가능성이 있습니다. $\frac{1}{2^{100}}$ .

— 마이클 맥고완
소스

그가 살아남을 확률은 모든 시도에서 1이고, 모든 시도에서 죽을 확률은 1입니다 (물 탱크 고장에도 불구하고). 복제 한 후에는 더 이상 "him"이 없습니다. "그들"이 있습니다.

BTW : 복제가 불완전한 경우

P (d i e s) = 1

$P(\mathrm{dies}) = 1$ 모든 시험 (신뢰할 수있는 탱크)

P (i m p e r f e c t c l o n e s u r v i v e s) = 1

$P(\mathrm{imperfect\ clone\ survives}) = 1$ 모든 시도에서 (트리거 행복 관객 회원에도 불구하고).

BBTW : 머신이 불완전하게 복제 하고 무작위로 하나를 선택하여 순간 이동 (다른 하나는 익사) 한 경우 무작위 선택에 대한 추가 정보 / 가정이 필요합니다.

@Jay : 순간 이동에 관한 내 질문을 편집

— Benjamin Crouzier

감사. 순간 이동 문제를 해결했지만 복제가 완벽한 지 여부를 결정하지 않았습니다. 중복이 완벽하다면 내 대답은 동일하게 유지됩니다 (@steffen의 의견 참조). 중복이 불완전한 경우 (원하는 것처럼 들리는 경우)

1 / 2^{100}

$1/2^{100}$ whuber의 답변의 마지막 단락에 따라 다른 답변은 whuber와 Michael이 자세히 설명 한 이유로 잘못되었습니다.

@ downvoter- 아이디어는 시간이 지남에 따라 답변이 개선 되도록 왜 다운 투표를 작성하는 것입니다 .