iid 랜덤 변수 란 무엇입니까?

기술이 아닌 사람들에게 iid (독립적이고 동일하게 배포 된)를 어떻게 설명 하시겠습니까?

"독립적이고 동일하게 배포 됨"을 의미합니다.

좋은 예는 공정한 동전 던지기의 연속입니다. 동전에는 메모리가 없으므로 모든 던지기는 "독립적"입니다.

그리고 모든 던지기는 50:50 (heads : tails)이므로 동전은 공평하고 유지됩니다. 즉, 모든 던지기가 그려지는 분포는 "동일하게 분배 된"것입니다.

좋은 출발점은 Wikipedia 페이지 입니다.

::편집하다::

이 링크 를 따라 개념을 자세히 살펴보십시오.

비 기술적 설명 :

독립 은 매우 일반적인 개념입니다. 하나의 발생이 다른 이벤트의 발생 여부에 대한 정보를 제공하지 않으면 두 개의 이벤트가 독립적이라고합니다. 특히, 두 번째 사건에 귀속 될 확률은 첫 번째 사건이 발생했다는 지식의 영향을받지 않습니다.

• 동일하게 분배 될 수있는 독립 사건의 예
  두 개의 서로 다른 동전을 차례로 던지는 것을 고려하십시오. 첫 번째 동전을 뒤집었을 때 엄지 손가락이 지나치게 피곤하지 않다고 가정하면 첫 번째 동전 던지기로 인해 머리가 나온다는 것을 아는 것이 두 번째 던지기에서 머리의 확률에 영향을 미치지 않는다고 가정하는 것이 합리적입니다. 두 가지 이벤트 는 독립적 인 이벤트 라고 합니다.

  $$\{\text{first coin toss resulted in Heads}\}~~\text{and}~~\{\text{second coin toss resulted in Heads}\}$$

  • 만약 두 개의 코인이 헤드를 생성 할 확률이 다르다는 것을 알고 있거나 반드시 고집한다면, 이벤트는 동일하게 분배되지 않습니다.

  • 우리가하면 알 또는 가정 두 개의 동전을 가지고 같은 확률 머리를 오는을 한 후 위의 이벤트는 또한 동일하게 분산 둘 다 같은 확률이 의미 발생의를. 그러나 가 아니라면 Heads의 확률은 Tail의 확률과 같지 않습니다. 의견 중 하나에 언급 된 바와 같이, "동일한 배포"는 "동일하게 가능한"과 동일하지 않습니다.$p$$p$$p = \frac 12$

• 동일하게 분포 된 비 독립 사건의 예
  하나에 검은 색과 흰색의 두 개의 공이있는 항아리를 고려하십시오. 우리는 그것에 도달하고 두 공을 하나씩 차례로 그려서 첫 번째 공을 무작위로 선택합니다 (물론 다음 공의 색상을 결정합니다). 따라서 실험에서 똑같이 가능성이 높은 두 가지 결과는 (흰색, 검은 색) 및 (검은 색, 흰색)이며, 첫 번째 공은 검정 또는 흰색 일 가능성이 있고 두 번째 공도 검정 일 가능성이 높습니다. 또는 백색. 다시 말해, 이벤트 확실히 동일하게 배포되지만 확실히 아니

  $$\{\text{first ball drawn is Black}\}~~\text{and}~~\{\text{second ball drawn is Black}\}$$ 독립 이벤트. 실제로 첫 번째 사건이 발생했다는 것을 알게되면 두 번째 사건이 일어날 수 없다는 것을 확실히 알 수 있습니다. 따라서 두 번째 사건의 확률에 대한 초기 평가는 이지만, 첫 번째 사건이 발생했음을 알게되면 두 번째 사건의 확률에 대한 평가는 에서 으로 검은 색이 될 것입니다. .$\frac 12$$\frac 12$$0$

랜덤 변수는 시나리오에서 가능한 모든 이벤트의 확률을 포함하는 변수입니다. 예를 들어, 100 코인 던지기의 헤드 수를 나타내는 임의의 변수를 만들 수 있습니다. 랜덤 변수는 1 개의 헤드, 2 개의 헤드, 3 개의 헤드를 얻을 수있는 확률을 포함합니다. 이 임의의 변수 X를 호출 할 수 있습니다.

두 개의 랜덤 변수가있는 경우 다음 과 같은 경우 IID (동일하게 분산 됨)입니다.

1. 그들이 독립적 이라면 . 위에서 설명했듯이 독립성은 한 이벤트의 발생이 다른 이벤트에 대한 정보를 제공하지 않음을 의미합니다. 예를 들어, 100 번 넘긴 후에 100 개의 머리를 얻는다면 다음 번 플립에서 머리 나 꼬리를 얻는 확률은 동일합니다.
2. 각 랜덤 변수가 동일한 분포를 공유하는 경우 . 예를 들어, -X 에서 랜덤 변수를 가져옵니다 . 말할 수 X가 동전을 100 번 플립하는 방법에 대한 오바마 나타냅니다. 이제 Y 가 동전을 100 번 뒤집으려고하는 사제를 나타냅니다. 오바마와 사제가 머리에 착륙 할 확률이 같은 동전을 뒤집 으면 X 와 Y 는 동일하게 분포 된 것으로 간주됩니다. 사제 또는 오바마에서 반복적으로 표본을 추출하면 표본이 동일하게 분포 된 것으로 간주됩니다.

참고 : 독립성은 또한 확률을 곱할 수 있음을 의미합니다. 헤드 확률이 p이고 두 헤드를 연속으로 얻을 확률은 p * p 또는 p ^ 2라고 가정하겠습니다.

이 예제에서는 두 개의 종속 변수가 동일한 분포를 가질 수 있음을 보여줍니다.

편향된 동전의 각 100 토스를 포함하는 두 개의 연속적인 실험을 가정하면, 총 헤드 수는 첫 번째 실험의 경우 랜덤 변수 X1, 두 번째 실험의 경우 X2로 모델링됩니다. X1 및 X2는 매개 변수 100 및 p를 갖는 이항 랜덤 변수이며, 여기서 p는 코인의 바이어스입니다.
따라서 동일하게 분배됩니다. 그러나 전자의 가치는 후자의 가치에 대해 매우 유익하기 때문에 독립적이지 않습니다. 즉, 첫 번째 실험의 결과가 100 헤드라면 동전의 편향에 대해 많은 것을 알려주므로 X2 분포에 관한 많은 새로운 정보를 얻을 수 있습니다.
여전히 X2와 X1은 동일한 동전에서 파생되므로 동일하게 분배됩니다.

또한, 2 개의 임의 변수가 종속적이면 X1의 X2의 후자는 X2의 이전과 동일하지 않으며 그 반대도 마찬가지입니다. X1과 X2가 독립적 일 때, 그 후부는 이전과 같습니다. 따라서 두 변수가 종속적 인 경우 두 변수 중 하나를 관찰하면 두 번째 변수의 분포에 대한 추정치가 수정됩니다. 둘 다 같은 분포에서 나왔을 수도 있지만,이 분포의 특성에 대해 더 자세히 알게됩니다. 따라서 동전 던지기 실험으로 돌아 가면 처음에는 정보가 없을 때 X1과 X2가 매개 변수 100과 0.5를 갖는 이항 분포를 따른다고 가정 할 수 있습니다. 그러나 100 개의 헤드를 연속으로 관찰 한 후 p 매개 변수에 대한 추정치를 확실히 수정하여 1에 가깝게 만들었습니다.

동일한 분포에서 여러 무작위 추첨의 집계. 가방에서 구슬을 10,000 번 꺼내고 붉은 구슬을 뽑는 횟수를 세는 예가 있습니다.

랜덤 변수 가 정규 분포를 갖는 모집단에서 나온 경우 (즉, 확률 밀도 함수)는 모집단 평균이 이고 모집단 분산이 ( 숫자는 가상의 것이며 이해를 돕기위한 것이며 비교를 단순화하기 위해) 다음과 같이 설명 할 수 있습니다. .$X$$\mu=3$$\sigma^2=4$$X \sim N(3 , 4)$

우리가 다른 임의의 변수가있는 경우 지금 역시 정규 분포되어있는 다음, 및 동일하게 분배된다.$Y$$Y \sim N(3, 4)$$X$$Y$

그럼에도 불구하고, 동일하게 분배된다고해서 반드시 독립성을 의미하는 것은 아닙니다.