상관 관계가 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트

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관련이 없지만 선형 적으로 종속적 인 변수 세트를 가질 수 있습니까? $K$

즉 및 $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

그렇다면 예를 작성할 수 있습니까?

편집 : 대답에서 그것은 불가능하다는 것을 따릅니다.

적어도 $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ 있습니까? 여기서 $\hat\rho$ 는 추정 된 상관 계수입니다. 변수의 $n$ 샘플과 $v$ 는 와 상관없는 변수입니다 $x_i$ .

과 같은 것을 생각하고 있습니다. $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— 돈 베오
소스

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@ RUser4512의 답변에서 알 수 있듯이 상관되지 않은 임의의 변수는 선형으로 종속 될 수 없습니다. 그러나 거의 상관 관계가없는 임의 변수 는 선형 적으로 종속적 일 수 있으며, 이러한 예 중 하나는 통계 전문가의 마음에 달려 있습니다.

가 공통 평균 인 상관되지 않은 단위 분산 랜덤 변수 의 집합 이라고 가정합니다 . 정의하십시오. 여기서 입니다. 그런 다음 는 0- 평균 랜덤 변수이므로 . 즉, 선형으로 종속됩니다. 이제 이므로 , 나타내는 것을 $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ 는 상관 계수 과 거의 상관이없는 랜덤 변수입니다 .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

이 초기 답변 을 참조하십시오 .

— 디립 사르 베이트
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이것은 정말 좋은 예입니다!

— RUser4512

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아니.

중 하나가 0이 아닌 것으로 가정하십시오 . 일반성을 잃지 않으면 서 이라고 가정하자 . $a_i$ $a_1=1$

들면 , 이것이 의미 및 . 그러나이 상관 관계는 0입니다. 선형 관계의 존재와 모순되어야합니다. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

임의 들어 , 및 . 그러나 가설에 따르면 입니다. (위한 집은 제로인 ) 등이 있어야 . $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— 사용자
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가우스 벡터의 경우 한 줄짜리 증거도 있습니다 (주석으로 유지하는 것을 선호합니다). 상관 관계가 0이면 독립성을 의미합니다. 의미 하며 완료되었습니다.

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

— RUser4512

아주 좋은 대답입니다. 편집 한 질문에 대답 할 수 있다면 좋을 것입니다.

— Donbeo

편집 된 질문은 훨씬 어렵습니다.) 와 가 동일한 것을 참조 한다고 가정합니다 . 상관 관계를 찾고 있다면 1 / K 요소의 요점을 볼 수 없습니다. 최종 결과로 아무것도 변경되지 않습니다.

v

$v$

x_{K}

$x_K$

— RUser4512

를 만들려면 1 / K가 필요했습니다 .

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

— Donbeo

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이것은 약간의 부정 행위 일 수 있지만 'uncorrelated'를 공분산 이 0 인 것으로 정의 하면 대답은 yes 입니다. 하자 와 모두 그런 확률 1. 제로가 $X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

반면 되도록, 및 (사용자의 정의에 의해) 선형 적으로 의존한다. $X+Y=0$ $X$ $Y$

상관 관계 가 정의되어 있어야합니다. 즉, 와 의 분산이 모두 양수이면 기준을 충족하는 변수를 찾을 수 없습니다 (다른 답변 참조). $X$ $Y$

— 칼 오브 허 프트 해머
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