운동량을 가진 무작위 도보

다음 조건에서 0부터 시작하는 정수 랜덤 워크를 고려하십시오.

첫 번째 단계는 동일한 확률로 플러스 또는 마이너스 1입니다.
미래의 모든 단계는 60 %가 이전 단계와 같은 방향 일 가능성이 40 %는 반대 방향 일 가능성이 높습니다

이로 인해 어떤 종류의 분포가 나옵니까?

나는 운동량이 아닌 무작위 걷기가 정규 분포를 산출한다는 것을 알고 있습니다. 운동량이 분산을 변경하거나 분포의 특성을 완전히 변경합니까?

나는 일반적인 대답을 찾고 있으므로 60 %와 40 % 이상이면 실제로 p 와 1-p를 의미합니다.

stochastic-processes randomness random-walk

— 배리 카터
소스

실제로 @Dilip에는 순서 쌍 및 , 로 상태가 색인화 된 Markov 체인이 필요합니다 . 전환은

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ 및

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ 확률과 및 확률이 및 입니다 .

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

단계 크기는 에 Markov 체인을 형성 하며 고정 분포에서 시작하기 위해 발생합니다 (?!).

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— 추기경

당신은에 대한 제한 (한계) 유통 원하는 있습니까 도보의 단계는?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— 추기경

또 다른 접근법은 기하학적 랜덤 변수의 교호 합을 살펴본 다음 일부 마틴 게일 이론을 적용하는 것입니다. 문제는 일종의 중지 시간을 정의해야한다는 것인데, 이는 까다로울 수 있습니다.

— shabbychef

답변:

결론으로 바로 넘어 가기 위해 "모멘텀"은 정규 분포가 랜덤 워크 분포의 점근 근사라는 사실을 변경하지는 않지만 분산은 $4np(1-p)$ 에서 $np/(1-p)$ . 이것은이 특별한 경우에 비교적 기본적인 고려 사항에 의해 도출 될 수있다. Markov 체인의 유한 상태 공간에 대해 아래의 인수를 CLT로 일반화하는 것은 끔찍한 일이 아니지만 가장 큰 문제는 실제로 분산 계산입니다. 특정 문제에 대한이 수아래의 주장이 독자에게 그것이 올바른 분산이라고 확신시킬 수 있기를 바랍니다.

추기경이 주석에서 제공하는 통찰력을 사용하여, 랜덤 보행은

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ 로 주어지며 여기서

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$ 이고

X_{k}

$X_k$ 는 천이 확률 행렬을 가진 Markov 사슬을 형성합니다

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$ 때의 점근선 고려 사항의 경우

의 초기 분포 는 아무런 역할을하지 않으므로 수정하겠습니다.

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

다음 인수를 위해

이고

가정합니다. 매끄러운 기술은 Markov 체인을 독립적 인 사이클로 분해하는 것입니다. 하자

나타내고 처음 시간 한 후, 즉 1 행의 마르코프 체인 복귀 경우

, 그리고 만약

및

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . 일반적으로,

가

번째 리턴 시간을 1로 나타내고

이 리턴 간 시간을 나타냅니다 (

). 이러한 정의를 통해

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

함께 다음 $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ ${에스}_{σ_{엔}} = {엑스}_{1} + \sum_{나는 = 1}^{엔} 유_{나는} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
이후 값이 얻어 위한 과 이 보유하고 있음 $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $유_{나는} = 2 - τ_{나는} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Markov 체인의 반환 시간 는 공식적으로 강력한 Markov 속성으로 인해 iid이며이 경우 평균 이고 분산 $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . 아래 평균과 분산을 계산하는 방법이 표시됩니다. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
iid 변수에 대한 일반적인 CLT는 $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
마지막으로 주목해야 할 것은 약간의 믿음의 도약이 필요하기 때문입니다. 세부 사항을 생략했기 때문에 이므로 $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

모멘트의 계산하도록 주의 수를 그 및 대한 , . 그리고 기하학적 분포를위한 모멘트를 계산할 때 사용 된 것과 유사한 기술이 적용될 수있다. 또는 가 성공 확률 이고 $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ 다음 는 과동일한 분포를 가지며,이 후자의 표현에 대한 평균과 분산을 쉽게 계산할 수 있습니다. $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
소스

+1 좋아요 나는

대한 점근 분포를 작성했을 것입니다.

, CLT는 일반적인 방법으로 적용된다는 것을 명확하게 표시합니다. 그러나 그것은 맛의 문제 일뿐입니다.

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— mpiktas

Van Belle의 'Rule of Thumb'8.7 (그의 저서 제 2 판 )은 혁신이 자기 상관 관계 가질 때 평균의 표준 오차에 대한 근사값을 포함합니다 . 이 사용하여 번역 제공 $\rho$ $\rho = 2p - 1$ 여기서는단계후 랜덤 보행의 위치이고는 표본 표준 편차입니다 (은,임)

의 진정한 표준 오차 \bar{엑스} \approx \sqrt{\frac{피}{1 - 피}} \frac{에스}{\sqrt{엔}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

. 결론은 대략적인 근사치로

의 표준 편차가 약

이어야한다고 예상합니다.

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$

편집 : 나는 자기 상관이 잘못 되었습니다 (또는 는 다르게 해석되어야합니다). 이제 일관성이 있습니다. $p$

— 초라한 요리사
소스

p = 0

$p=0$

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$