내 네트워크 (그래프)가 "소규모"네트워크인지 여부를 통계적으로 테스트하는 방법은 무엇입니까?

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작은 세계 네트워크는 대부분의 노드가 서로의 이웃되지 않는 수학적 그래프의 일종이지만, 대부분의 노드는 홉 또는 단계의 소수에 의해 다른 모든에서 도달 할 수 있습니다. 구체적으로, 소규모 세계 네트워크는 무작위로 선택된 두 노드 사이의 전형적인 거리 L (필요한 단계 수)이 네트워크에서 노드 수 N의 로그에 비례하여 증가하는 네트워크로 정의됩니다.

$L \approx \log (N)$ $L \approx \log(N)$

L과 N의 관계는 "엄지 규칙"입니다. 연구를 위해 작은 세계 그래프를보다 전문적으로 결정하려고합니다. 그래프가 작은 세계 그래프인지 어떻게 테스트 할 수 있습니까?

작은 세계 실험은 스탠리 밀 그램과 미국에있는 사람들의 소셜 네트워크의 평균 경로 길이를 검사 다른 연구자가 실시한 여러 실험을 구성. 이 연구는 인간 사회가 짧은 경로 길이를 특징으로하는 작은 세계 유형의 네트워크임을 시사한다는 점에서 획기적인 것이었다. Milgram은이 용어 자체를 사용하지 않았지만 실험은 종종 "6도 분리"라는 문구와 관련이 있습니다.

미리 감사드립니다.

hypothesis-testing graph-theory networks

— 우벨 Yildmar
소스

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나는 당신의 파파 나 배경의 목적이 무엇인지 모른다. 테스트하려는 실제 그래프가 있습니까? 그래프의 기본적인 설명 측정을 수행 할 수 있습니다. 모든 그래프 라이브러리에서 수행 할 수 있습니다 (예 : python의 networkx 또는 R의 igraph). 네트워크가 연결되어 있는지, 직경, 평균 최단 경로 등을 확인하십시오. 그래프를 생성하거나 컨텍스트가 다른 경우 질문에 대답하기 위해 더 많은 정보가 필요하다고 말합니다.

— lrnzcig

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이 대수 관계의 존재를 평가하려면 일련 의 값이 필요하다고 생각 합니다. 예를 들어, 시간이 지남에 따라 진화하는 그래프의 스냅 샷 시퀀스. 또는 유사한 (비교할 수있는) 시스템 (예 : 다양한 크기의 여러 회사의 컴퓨터 네트워크)에 해당하는 서로 다른 그래프 모음.

— Vincent Labatut

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TL; DR :

당신은 할 수 없습니다.

일반적으로 수행되는 작업

네트워크가 작은 세계인지를 판단 할 때 현재의 "최신 기술"은 다음과 같은 접근법을 사용합니다.

$L$ $C$
Erdős–Rényi 랜덤 그래프 또는 Maslov–Sneppen 랜덤 그래프 와 같은 적절한 널 모델 네트워크 앙상블을 생성하십시오 .
$L_\text{r}$ $C_\text{r}$
정규화 된 최단 경로 . 및 . $λ := L/L_\text{r}$ $γ := C/C_\text{r}$
및 가 특정 기준을 충족하는 경우 (예 : 및 ) 네트워크를 소규모 네트워크로 호출하십시오. $λ$ $γ$ $λ≈1$ $γ>1$

이것의 뒤에 아이디어는 :

소규모 네트워크는 공간 구조가 높아야하며, 이는 높은 군집 계수에 의해 반영됩니다. 대조적으로, 랜덤 네트워크는 그러한 구조가없고 군집 계수가 낮다.
소규모 네트워크는 통신이 비슷하고 유사하므로 임의의 네트워크와 비교할 수있는 가장 짧은 경로 길이를 갖습니다. 반대로 순수한 공간 네트워크는 가장 짧은 경로 길이를 갖습니다.

문제가있는 곳

이것은 평균 최단 경로가 네트워크 크기에 어떻게 비례하는지에 대해서는 아무 것도 말하지 않습니다. 실제로, 실제 네트워크의 경우 인용 된 전체 정의를 적용 할 수 없습니다. 노드 수가 다른 동일한 네트워크와 같은 것은 없기 때문입니다.
및 값을 직접 기반으로하지 않는 작은 세계에 대한 다른 정의를 가정 해 보겠습니다 . $λ$ $γ$

소규모 네트워크는 장거리 연결이 추가 된 공간 네트워크입니다.

그런 다음 와 사용하여 (또는 실제로 다른 네트워크 측정) 이러한 정의가 충족되는지에 대해서는 여전히 강력한 의미를 내포 할 수 없습니다 . 많은 연구에 대한 해석은 모든 네트워크가 재배 선 확률에 대해 Watts-Strogatz 모델 을 실현 한 것으로 가정하지만 전혀 정당화되지는 않습니다. 우리는 실현이 Watts-Strogatz 모델과 완전히 다른 많은 다른 네트워크 모델을 알고 있습니다. $λ$ $γ$
위의 방법은 측정 오류에 강력하지 않습니다. 예를 들어 격자가 작은 네트워크처럼 보이도록 측정에서 네트워크를 설정할 때 작은 오류가 발생합니다 (예 : Bialonski et al., Chaos (2010) 및 Papo et al., Front 참조). 흠. 신경증. (2016) . 실제로 일부 경험적 네트워크가 소규모 네트워크가 아니라고 주장하는 단일 연구에 대해서는 알지 못합니다 .

사이드 노트 : 무엇을 얻을 수 있습니까?

소규모 네트워크 인 일부 네트워크에서 파생 될 수있는 유용한 통찰력을 알지 못합니다. 특정 유형의 네트워크가 특정 네트워크 모델 (예 : Watts-Strogatz 모델)에 의해 잘 설명되어 있다는 주장은 모델링 연구에 유용 할 수 있지만 이는 소박함을 주장하는 것보다 훨씬 더 나아갑니다.

^{완전한 면책 조항 : 위의 논문 중 하나는 저의 직접적인 학계 부근에 있습니다.}

— rz 르프
소스

또한이 답변에서 언급 한 방법론이 나열된 논문을 알고 있습니까? 네트워크 앙상블 만들기, 평균 등 계산

— 마지막 단어

@ TheLastWord : 또한이 답변에서 언급 한 방법론이 나열된 논문을 알고 있습니까? – Bialonski et al의 논문은이 접근법을 요약하고 관련 참조를 포함해야합니다. 이 논문을 참조하십시오 .

— Wrzlprmft

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작은-Worldness 지수 함수 사용하여 "R"에서 계산 될 수있다 smallworldness 패키지에 qgraph을 .

이것은 Humphries, MD, & Gurney, K. (2008)에 근거합니다. 네트워크 " 작은 세계": 정식 네트워크 동등성을 결정하기위한 정량적 방법 . PLoS One, 3 (4), e0002051

종이에서 :

"S> 1 인 경우 네트워크는 통계적으로 테스트 될 수있는 '작은 세계'로 간주됩니다."

— 스캇 버튼
소스