불연속 랜덤 변수가 있습니까?

9

허락하다 $X$ 값을 취하는 이산 랜덤 변수 $\mathbb{N}$ . 이 변수 를 반 으로 바꾸고 싶습니다 , 즉 임의의 변수를 찾고 싶습니다 $Y$ 같은 :

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

어디 $Y^*$ 독립적 인 사본입니다 $Y$ .

나는이 과정을 반으로 언급하고있다 . 이것은 전문 용어입니다. 이 작업에 대한 문헌에 적절한 용어가 있습니까?
그것은 나에게 보인다 $Y$ 부정적인 확률을 받아 들일 경우에만 항상 존재합니다. 관찰 결과가 맞습니까?
가장의 개념이 있습니까 긍정적 적합은 $Y$ ? 위의 방정식을 풀기 위해 "가장 가까운"임의 변수입니다.

감사!

random-variable

— 조앤 스 베르 모렐
소스

1

"반으로"반올림 할 수없는 경우 "가장 가까운"에 대한 여러 가지 정의가 있습니다. 최적화하려는 대상에 따라 다릅니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

10

이 특성과 관련이있는 개념 (약한 경우)은 분해성 입니다. 분해 법칙은 두 개 (또는 그 이상)의 사소한 독립 랜덤 변수의 합의 분포로 표현 될 수있는 확률 분포입니다. (그리고 분해 할 수없는 법은 그런 식으로 쓰여질 수 없습니다. "또는 그 이상"은 확실히 관련이 없습니다.) 분해를 위해 필요하고 충분한 조건은 특징적인 기능입니다

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$ 두 개 이상의 특성 함수의 곱입니다.

당신이 생각하는 속성이 이미 확률 이론에서 이름을 가지고 있는지, 아마도 무한 분할 과 관련이 있는지는 모르겠습니다 . 훨씬 더 강한 속성입니다 $X$ , 그러나 여기에는이 속성이 포함됩니다 : 무한 분할 가능한 rv는이 분해를 만족시킵니다.

이 "1 차 분할"에 필요한 충분 조건은 특성 함수의 근본입니다.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$ 다시 특징적인 기능입니다.

정수를 지원하는 분포의 경우 특성 함수가 다항식이기 때문에 거의 그렇지 않습니다. $\exp\{it\}$ . 예를 들어, Bernoulli 랜덤 변수는 분해 할 수 없습니다.

분해성 에 대한 Wikipedia 페이지 에서 지적했듯이 밀도가있는 분해와 같이 분해 할 수없는 절대 분포가 있습니다.

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

특징적인 기능의 경우 $X$ 실수이며, 폴리 -A의 정리는 사용할 수 있습니다 :

폴리아의 정리. φ가 조건을 만족하는 실제 값의 균일 한 연속 함수 인 경우
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
φ는 절대적으로 연속적인 대칭 분포의 특성 함수입니다.

실제로이 경우 $\varphi^{1/2}$ 다시 실제 가치입니다. 따라서 충분한 조건 $X$ 1 차로 나눌 수있는 것은 φ가 루트 볼록한 것입니다. 그러나 그것은 대칭 분포에만 적용되므로 Böchner의 이론 보다 훨씬 더 제한적으로 사용 됩니다.

— 시안
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6

이것이 사실 인 특별한 경우가 있지만, 임의의 이산 랜덤 변수의 경우 "반감"이 불가능합니다.

두 개의 독립 이항의 합 $(n,p)$ 랜덤 변수는 이항입니다 $(2n,p)$ 랜덤 변수이므로 이항 $(2n,p)$ "반으로"수 있습니다.
연습 문제 : 이항인지 알아 내기 $(2n+1,p)$ 임의의 변수는 "반으로 줄어 듭니다".
마찬가지로 음 이항 $(2n,p)$ 임의의 변수는 "반으로 줄어 듭니다".
두 독립 포아송의 합 $(\lambda)$ 랜덤 변수는 포아송입니다 $(2\lambda)$ ; 반대로, 포아송 $(\lambda)$ 랜덤 변수는 두 독립 포아송의 합입니다 $(\frac{\lambda}{2})$ 임의의 변수. 실제로 @ Xi'an은 코멘트에서 지적했듯이 Poisson $(\lambda)$ 임의의 변수는 원하는만큼 "반으로"반올림 할 수 있습니다. 각 양의 정수마다 $n$ , 그것은 합이다 $2^n$ 독립 포아송 $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ 임의의 변수.

— 디립 사르 베이트
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2

+1 나의 기억은 이산 제복이 불가능한 특별한 경우라는 것입니다 (다른 많은 사람들이 있다고 믿지만 제가 본 것입니다).

— Glen_b-복지 주 모니카

실제로, 균일 한 분포는 분해 가능하지만 상기 의미에서 나눌 수는 없다.

— Xi'an

2

포아송 분포는 무한 분할 분포의 한 예이므로 임의의 수의 iid 변이의 합으로 나눌 수 있습니다.

— Xi'an

-1

문제는 당신이 "독립적 인 사본"을 요구하는 것 같습니다. 그렇지 않으면 당신은 단지 $\frac{1}{2}$ ? 사본을 작성하는 대신 (사본은 항상 종속적 임) "두 개의 독립적이지만 동일하게 분포 된 무작위 변수"를 작성해야합니다.

질문에 대답하기 위해

가장 가까운 것은 아마도 컨볼 루션이라는 용어 일 것입니다. 주어진 $X$ 컨볼 루션이있는 두 개의 iid RV를 찾고 있습니다. $X$ .
음수 확률을 허용하면 더 이상 확률 공간이 없기 때문에 더 이상 임의 변수가 아닙니다. 그런 것을 찾을 수있는 경우가 있습니다 $Y,Y^*$ ( $X$ $\lambda$ 포아송 분포, $Y$ , $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ -포아송 분포) 및 불가능한 경우 ( $X$ 예를 들어 베르누이).
나는 아무것도 보지 못했고, 그런 가장 적합한 것을 공식화하는 방법을 상상할 수 없다 . 일반적으로 랜덤 변수에 대한 근사는 랜덤 변수 공간의 표준으로 측정됩니다. 임의의 변수에 의한 또는 임의의 변수가 아닌 변수에 대한 근사치를 생각할 수 없습니다.

내가 도울 수 있기를 바랍니다.

— 매트
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