무한 롤 시리즈에서 선택한 다이의 평균값

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주사위 한 쌍을 무한히 굴려서 항상 두 값 중 더 높은 값을 선택하면 가장 높은 값의 예상 평균이 3.5를 초과합니까?

백만 개의 주사위를 굴리고 매번 가장 높은 값을 선택하면 각 롤에 6 개를 사용할 수 있다는 가능성이 압도적입니다. 따라서 예상 평균은 5.999999999999와 같아야합니다.

그러나 나는 단지 2 주사위를 사용하여 예를 들어 예상 값이 무엇인지 알 수없는 것 같습니다. 누군가 전화 번호를 알려주도록 도와 줄 수 있습니까? 간신히 3.5를 초과합니까? 이것은 심지어 계산할 수있는 것입니까?

dice

— 제이슨
소스

3

샘플 공간을 열거 할 수 있습니까? 2 주사위 예제의 가능성을 나열하십시오.

— soakley

6

실험도 시뮬레이션 할 수 있습니다. 이 방법은 열거가 어려운 경우에 유용합니다 (롤링 주사위 3 개).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— 니산 스
소스

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이를 위해 시뮬레이션을 사용할 필요가 없으며 일반적인 경우 분석이 매우 쉽습니다. 은 주사위 수이고 는 주사위를 굴릴 때 만들어진 최대 롤 이라고하자 . $n$ $X$ $n$

그것은 그 다음 과 일반적으로 1에서 6 사이의 에 대해 입니다 . 따라서

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

따라서 확률 분포를 닫힌 형태로 기록 할 수 있습니다. 대해이 작업을 수행하면 예상 값 4.472222를 얻습니다. $n = 2$

— 에릭
소스

2

한계에서 을 공식은 질문에서 직관을 확인합니다. .

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— Matthew Drury

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나는 사소한 사례를 통해 답을 찾기를 제안합니다.

주사위 2 개를 굴려서 6x6 행렬을 생성 할 수 있습니다 :

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

합의 예상 값은 7입니다. 롤이 동일한 독립 도면이기 때문에 합산 될 수 있습니다. 공정한 입방체 주사위 굴림에 대한 기대치는 3.5입니다.

그러나 당신은 최대화에 대해 묻고 있습니다. 이제 주사위 두 개를 굴리면서 극대화를 열거하겠습니다. 다시 6x6 행렬입니다 :

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

과 같이 기대 값을 계산하십시오 .

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

롤링 알 주사위하면 (확률 적 의미에서) 하나의 다이 롤에 상당 번. 그래서 롤링 방법 매트릭스 변경하는 방법과 결과 기대 변경 주사위를 당신도 볼 수 있습니다. $n$ $n$ $n$

— 라이프
소스

2

36 개 조합 각각에 동일한 확률이 있다고 가정하면 36 개 조합 각각의 값을 더하고 36으로 나누어 평균을 구해야합니다.

1 가능성 : 11
3 가지 가능성 : 12, 21, 22
5 가지 가능성 : 13, 23, 31, 32, 33
7 가지 가능성 : 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 가지 가능성 : 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 가지 가능성 : 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

— 브리 가이 37
소스

1

트롤 주사위 롤러 입니다 주사위 확률을 찾기위한 도구입니다. 그는 구현을 설명 하는 논문을 가지고 있지만 꽤 학문적입니다.

max(2d6) 수확량

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
소스