증명 / 반증

증명 / 반증 $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

필터링 확률 공간이 주어 ,하자 . $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$ $A \in \mathscr{F}$

가정 이 따릅니 까 그무엇에 대한 ?

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 1 a.s.

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$

E [1_{A} | F_{s}] = E [1_{A} | F_{t}] a.s. \forall s > t ?

$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$

\forall s < t

$\forall s < t$

대신아니면

\exists t \in N s.t. E [1_{A} | F_{t}] = 0 a.s. ?

$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$

E [1_{A} | F_{t}] = p a.s. for some p \in (0, 1) ?

$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$

내가 시도한 것 :

만약 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다)입니다 . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ $\Bbb E[1_A]=1$ $1_A=1$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ $s$

마찬가지로, 만약 , 다음 와 동일 (거의 확실). 이 경우 각 에 대해 (거의 확실합니다) . $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ $\Bbb E[1_A]=0$ $1_A=0$ $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ $s$

만약 , 일정에 대한 , 그 다음 우리가 $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ $p\in(0,1)$

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ . 이면 실패 할 수 있습니다 . $s>t$

대안으로 경우 : $= p$

하자 한정된 수 -measurable 확률 변수. $F$ $\mathscr F_t$

E [1_{A} \cdot F] = E [E [1_{A} \cdot F | F_{t}]] = E [F \cdot E [1_{A} | F_{t}]]

$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$

= E [p \cdot F] = p E [F] = E [1_{A}] \cdot E [F]

$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$

즉 와 독립적이다. 즉, 와 는 독립적입니다. 따라서 이므로 및 는 독립적 이므로 입니다. 이면 실패 할 수 있습니다 . $1_A$ $F$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_t$ $\sigma(A)$ $\mathscr F_s$ $s<t$ $E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$ $s>t$

상수는 및 -measurable 과 독립적 $\mathscr F_s$ $\mathscr F_s$ 이라는 아이디어가 있습니다.

— BCLC
소스

당신의 주장은 유효 해 보이지만, 당신은 입니다. 그러나이 질문은 , 임의 변수 은 세트 값을 취합니다. 즉 여기서 입니다. 이 조건부 기대의 정의 특성은 모든 대해 입니다 . 특히, 취 하면 , 여기서 $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$ $E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]$ $\{0, 1\}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$ $B\in\mathscr{F_t}$ $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$ $F\in\mathscr{F_t}$ $F=B$ $P(B)=P(A\cap B)$ $B\subset A$ (가능성 가능성이 0 인 경우 제외). 그러나 우리는 (당신이 작성한 논증에서와 같이) 즉 이므로 가능한 결론은 (확률이 0 인 경우 제외)입니다. $E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$ $P(A)=P(B)$ $A=B$

대한 , 조건부 기대의 타워 법이 의미하는 그래서 . 그러나 이므로 . 따라서 대한 모든 조건부 기대 값은 같습니다 . 대한 , 경우 우리는 여전히해야합니다 . 반면에 가 없는 시간으로 돌아 가면 아무 말도 할 수 없다고 생각합니다 $s\gt t$ $\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$ $E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $s>t$ $1_A$ $s<t$ $A\in\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$ $A$ $\mathscr{F_s}$ $E[1_A | \mathscr{F_s}]$ 일반적으로 . 구체적인 예는 그림 1 의이 백서를 참조하십시오. 예를 들어 하면 조건부 기대치 시퀀스 , , , . $A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$ $E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$ $E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$ $E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

— S. Catterall 복원 모니카
소스

S. Catterall에게 감사합니다. 1 어떻게 알 수 있습니까? 2 ? 또한 질문을 편집 할 것입니다. 불편을 끼쳐 드려 죄송합니다. 편집을 위해 여러분의 통찰력을 사용

P (B) = P (A \cup B) \to B \subseteq A

$P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$

E [1_{A} | F_{t}] = 1_{A}

$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— 하겠습니다

자연어로 요약 해 보도록하겠습니다. 결과 공간이 점점 미세화 호 및 이벤트의 조건부 기대에 여과 대응 추가 정보의 초기 상태에서의 이벤트 (약 정점된다 ( "추가 정보대로") 여과 연속 요소 WRT 그것은 단지 균일 분포입니다). 중지 시간은 프로세스의 확률 수준 설정 표면입니다 (논문에서 결과 변수는 이진이며 값 이 선택됨).

A

$A$

F_{0}

$\mathscr{F}_0$

0

$0$

— ocramz

@ocramz와 S. Catterall은 편집을 마쳤습니다. pls는 어떻습니까? ^-^

— BCLC

이 그림에서 이벤트 측정 하고 있지만 샘플 프로세스 가 속하지 않는 구성 끝나는 경우 는 효과적으로 "알 수 없음"이됩니다 (측정 ). 이 설명이 맞습니까? 더욱이, 연속적인 조건에서의 기대 조건이 어떻게 동작하는지 반복적 인 베이 즈의 과정을 상기시켜줍니다.이 개념들 사이에 연관성이 있습니까? @에스. Catterall

A

$A$

ω_{i}

$\omega_i$

A

$A$

A

$A$

0

$0$

— ocramz 1

첫 번째 주석의 질문에 대한 대답에서 다음의 경우 있기 때문에 다음, 의 분리 된 조합이다 와 우리가 가지고 있어야 , 이는 가 이제와 같음을 의미합니다. 같은 방식으로 를 사용하여 를

P (B) = P (A \cap B)

$P(B) = P(A \cap B)$

B

$B$

A \cap B

$A\cap B$

A^{c} \cap B

$A^c\cap B$

P (A^{c} \cap B) = 0

$P(A^c\cap B)=0$

B \subset A

$B\subset A$

P (A) = P (B)

$P(A)=P(B)$

A = B \in F_{t}

$A=B\in \mathscr{F_t}$

— S. Catterall 복원 모니카