직교 투영법의 투영 행렬이 왜 대칭입니까?

나는 이것에 익숙하지 않으므로 질문이 순진한 경우 용서하기를 바랍니다. (상황 : 나는 Davidson & MacKinnon의 저서 "Econometric Theory and Methods" 에서 계량 경제학을 배우고 있는데 이것을 설명하지 않는 것 같습니다. 또한 조금 더 진보 된 수준의 예측을 다루는 Luenberger의 최적화 책을 보았습니다. 운이 없다).

내가 직교 투영 와 관련 투영 행렬 가 있다고 가정하십시오 . 각 벡터를 공간 에 투영하는 데 관심이 있습니다.$\mathbb P$$\bf P$$\mathbb{R}^n$$A \subset \mathbb{R}^n$

질문 : 따르는 이유는 무엇입니까? 즉, 는 대칭입니까? 이 결과에 대해 어떤 교과서를 볼 수 있습니까?$\bf{P}=P$$^T$$\bf P$

이것은 직교 투영법에 대한 선형 대수의 기본 결과입니다. 비교적 간단한 접근 방식은 다음과 같습니다. 경우 걸쳐 직교 벡터이다 차원 서브 스페이스 한 는 IS 와 매트릭스 '열과, 다음에 s 이것의 정사영 사실로부터 다음 상 의 정규직 교 기저면에서 계산 될 수 로서 {I = 1} ^ m u_i u_i ^ T는 X \ sum_. 그것은 위의 공식에서 직접 따릅니다. m U N × P U I P = U U T . x A A m ∑ i = 1 u i u T i x . P 2 = $u_1, \ldots, u_m$$m$$A$$\mathbf{U}$$n \times p$$u_i$

$$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$$ $x$$A$$A$ $$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$$ $\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$ 그리고 그 $\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

다른 주장을하는 것도 가능합니다. 경우 $\mathbf{P}$ 모두 정의에 의해 다음과 직교 투영하는 투영 매트릭스,,,이고 P x ⊥ y − P y $x,y \in \mathbb{R}^n$

$$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$$ 결과적으로,
$$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$$ 모든 x에 대해 \ mathbf {P} ^ T-\ mathbf {P} ^ T \ mathbf {P}) y , y \ in \ mathbb {R} ^ n$x, y \in \mathbb{R}^n$ . 이것은 $\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$ 이고, $$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$$

기하학적 직관에 대한 시도는 ...

1. 대칭 행렬은 자체 인접합니다.
2. 스칼라 곱은 상호 선형 공간 의 성분에 의해서만 결정됩니다 (그리고 벡터의 직교 성분과 무관).

당신이보고 싶은 것은 (1)에 따라 투영이 자체적으로 대칭 적이라는 것입니다. 왜 그렇습니까? 벡터의 내적 고려 돌출부와 번째 벡터의 : . (2)에 따라, 곱은 의 투영 범위에서 의 성분에만 의존합니다 . 따라서 제품은 과 동일해야하며 동일한 인수를 따르는 과 같아야합니다.$x$$A$$y$$\langle x,Ay \rangle$$x$$y$$\langle Ax,Ay \rangle$$\langle Ax,y\rangle$

이후 인 자체는 대칭 adjoint-.$A$