가우스 프로세스의 파생

나는 가우시안 프로세스 (GP)의 미분이 또 다른 GP라고 생각하므로 GP의 미분의 예측 방정식에 대해 닫힌 형태 방정식이 있는지 알고 싶습니다. 특히, 나는 제곱 지수 (가우시안이라고도 함) 공분산 커널을 사용하고 있으며 가우시안 프로세스의 미분에 대한 예측을 알고 싶습니다.

stochastic-processes gaussian-process derivative

GP의 미분은 무엇을 의미합니까? BP, 에서 무작위로 곡선을 생성 한 다음 미분을 취합니까?

x (t)

$x(t)$

— Placidia

@Placidia 어떠한 I는 산출되지 의미 , I 다른 가우시안 프로세스 있어야한다고 생각

\frac{\partial x (t)}{\partial t}

$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

좋은 질문. 그러나 나는 Brownian 운동이 GP이며 어디에서도 차별화되지 않는다는 것을 기억합니다. 그래서 나는 일반적인 표현이 있는지 확실하지 않습니다. 물론 x (t) -x (th)는 가우스 여야하므로 공분산 함수가 주어진 h에 대한 확률을 생각할 수 있어야합니다.

— 추측 :

@conjectures, 그렇기 때문에 커널 함수가 제곱 지수 인 GP를 가지고 있다고 말한 이유는 무엇입니까 (왜냐하면 무한히 차별화 할 수 있다는 것을 알고 있기 때문에) 실제로 예제에서 파생 사례를 찾고있었습니다. 그러나 좋은 점은 적은 것입니다!

답변:

짧은 대답 : 예. 가우시안 프로세스 (GP)를 차별화 할 수 있다면 파생 상품은 다시 GP입니다. 다른 GP와 같이 처리 할 수 있으며 예측 분포를 계산할 수 있습니다.

그러나 GP 와 그 파생 는 밀접하게 관련되어 있으므로 둘 중 하나의 속성을 유추 할 수 있습니다. $G$ $G'$

존재 $G'$

공분산 함수 갖는 0 평균 GP 는 가 있으면 분화 할 수 있습니다 (평균 제곱) . 이 경우의 공분산 함수 동일하다 . 공정이 평균이 아닌 경우 평균 함수도 차별화 할 수 있어야합니다. 이 경우 의 평균 함수는 의 평균 함수의 미분입니다 . $K$ $K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$ $G'$ $K'$ $G'$ $G$

(자세한 내용은 A. Papoulis "확률, 랜덤 변수 및 확률 적 프로세스"의 부록 10A를 확인하십시오.

가우스 지수 커널은 어떤 순서도 구별 할 수 없으므로 문제가되지 않습니다.

대한 예측 분포 $G'$

관측 값을 조건으로하고 싶다면 간단합니다 . 각 미분 값을 계산할 수 있다면 평균 및 공분산 함수를 알고 있으므로 다른 GP와 동일한 방식으로 추론 할 수 있습니다. $G'$

그러나 당신은 또한에 대한 예측 분포를 유도 할 수있다 의 관찰에 따라 . 관측치는 표준 방식으로 주어진 의 후부를 계산 한 다음 사후 프로세스의 공분산과 평균 함수에 1.를 적용하여 수행합니다. $G'$ $G$ $G$

다른 방법으로 주위에 같은 방식으로이 작품은, 당신의 관찰에 대한 조건, 즉 의 후방 추론 . 이 경우 의 공분산 함수는 적분으로 제공되며 계산하기 어려울 수 있지만 논리는 실제로 동일합니다. $G'$ $G$ $G$ $K'$

— gg
소스

나는 너의 질문을 이해할 수 없다. 공분산 함수와 위에 주어진 평균 함수 (및 Rasmussen / Williams의 9.4)에 대한 명시 적 공식이 있습니다. 이것으로 GP를 알고 사용할 수있는 모든 것이 있습니까?

— gg

이 공분산을 가진 프로세스는 구별 할 수 없습니다. 답의 1 절에 언급 된 것처럼 커널 기능은 두 항목 모두에서 구별 할 수 있어야합니다. 델타 기능은 구분할 수없고 연속적이지 않습니다. 그래서 도 존재하지 않습니다.

G^{'}

$G'$

— gg

평균 기능과 프로세스 경로를 혼동 할 수 있습니까? 평균 기능은 경로보다 매끄럽고 공정이 다르더라도 차별화 할 수 있습니다. 그러나 평균 함수는 프로세스가 아닌 결정적 함수이므로 계산할 수있는 분산이 없습니다.

— gg

그것은. Rasmussen and Williams 섹션 9.4를 참조하십시오 . 또한 일부 저자는 제곱 지수 켄넬에 대해 강력하게 주장합니다. 너무 부드럽습니다.

— Yair Daon
소스

파생 상품에 대한 예측 분포가 있습니까?