한 변수의 표준 편차가 0 인 경우 상관 관계는 무엇입니까?

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알다시피, 방정식을 사용하여 공분산을 정규화하여 상관 관계를 얻을 수 있습니다

ρ_{i, j} = \frac{c o v (X_{i}, X_{j})}{σ_{i} σ_{j}}

$\rho_{i,j}=\frac{cov(X_i, X_j)}{\sigma_i \sigma_j}$

여기서 $\sigma_i=\sqrt{E[(X_i-\mu_i)^2]}$ 는의 표준 편차입니다 $X_i$ .

표준 편차가 0이면 내 관심사는 무엇입니까? 0이 될 수 없다는 조건이 있습니까?

감사.

correlation standard-deviation covariance

— 체 푸카
소스

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표준 편차가 0 인 변수는 다른 (일정하지 않은) 변수와 상관 될 수 있습니다. 상관 관계는 한 변수의 큰 / 작은 값이 다른 변수의 큰 / 작은 값에 해당하는 정도를 측정 한 것입니다. 변수 중 하나가 확률 1의 상수 (표준 편차가 0 인 결과)와 같으면 ' 다른 변수가 작은 지 또는 큰지에 대한 정보를 제공 할 수 있습니다. 나는 컨벤션이 무엇인지 모르지만 그 경우 상관 관계를 0으로 정의 해야하는 것처럼 보입니다.

— Macro

많은 매크로 감사합니다. 귀하의 아이디어가 아래 답변과 동일하다고 생각합니다. 그러나 포인트 제한으로 인해 귀하의 의견에 투표하지 못했습니다. 감사.

— chepukha

4

이미 답변을 수락 했으므로 의견을 작성하겠습니다. 랜덤 변수

표준 편차가

이면 다른 임의의 변수

대해

입니다

이후

, 확률

Y

$Y$

σ_{Y} = 0

$\sigma_Y = 0$

cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})] = 0

$\text{cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=0$

X

$X$

(Y - μ_{Y}) = 0

$(Y-\mu_Y)=0$

1

$1$ ). 따라서, 상관 계수의 정의

는 불확정 형태

제공합니다

ρ_{X, Y} = \frac{cov (X, Y)}{σ_{X} σ_{Y}}

$\rho_{X,Y}=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$

. 이는 통상적 인 것이다정의

동일하게

이 경우에, 이것은의 한계 값의 근거 방어 할 수

등

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

0

$0$

ρ_{X, Y}

$\rho_{X,Y}$

σ_{Y} \to 0

$\sigma_Y \to 0$

— 딜립 사와 트는

6

@Dilip, 대답이라면 대답으로 가야합니다. 답변이 이미 수락되었는지는 중요하지 않습니다.

— Andy W

1

@Dilip

의 문제

형식은 제한 연산을 통해 명확한 값을 가질 수 있더라도 값은 제한을 수행하는 방법에따라 다릅니다.

이라는 주장은 불완전하다 (그리고 설득력이 없다). 이 규약을 채택하고 정당한 이유로이를지지하는 출처를 인용 할 수 있습니까?

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

ρ_{X, Y} = 0

$\rho_{X,Y}= 0$

— whuber

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SD 중 하나가 0이면 해당 방정식이 정의되지 않은 것이 사실입니다. 그러나 이것을 생각하는 더 좋은 방법은 SD 중 하나가 0이면 상관 관계가 없다는 것입니다. 느슨한 개념의 용어로, 상관 관계는 다른 변수가 움직일 때 한 변수가 어떻게 움직이는 지 알려줍니다. SD가 0이면 변수가 '움직이고 있지 않음'을 의미합니다. 다음과 같은 상수로 구성된 벡터가 있어야합니다.rep(constant, n_times) .

— gung-복직 모니카
소스

고마워 나는 그것이 의미가 있다고 생각합니다. 교과서에서 그 사례를 언급하지 않은 것이 흥미 롭습니다.

— chepukha

@gung 이것은 상관 계수의 정의에있어서의 한계입니다. 상관 관계 방정식은 두 개의 값을 가질 수 있습니다. 하나는 변수 중 하나의 SD가 0 일 때 위의 방정식에서 주어진 것과 0입니다.

— prashanth

@ prashanth, 나는 가정합니다.

— gung-복직 모니카

2

고려해야 할 다른 것은 평균과 표준 편차 및 상관 관계에 대해 이야기 할 때의 기본 가정입니다.

우리가 데이터 샘플에 관해 이야기하고 있다면, 데이터가 (적어도 대략적으로) 정규 분포되어 있거나 (예를 들어 로그 변환을 통해) 변환 될 수 있다는 일반적인 가정이 있습니다. 표준 편차가 0 인 경우 두 가지 시나리오가 있습니다. 표준 편차가 실제로는 0이 아니지만 매우 작기 때문에 모든 데이터 세트에 평균값을 갖는 샘플이 있습니다 (예 : 거친 정밀도로 데이터를 측정하는 경우); 또는 모델이 잘못 지정되었습니다.

이 두 번째 시나리오에서 표준 편차와 결과적으로 상관 관계는 의미가 없습니다.

더 일반적으로, 기본 분포는 유한 초 순간 모멘트를 가져야하며 따라서 상관이 유효한 개념이되기 위해서는 0이 아닌 표준 편차가 있어야합니다.

— tdc
소스

원래의 질문은 데이터가 아니라 (이론적) 분포에 관한 것입니다.

— whuber

이 경우 표준 편차가 0이면 평균에서만 측정 값이있는 퇴화 분포 (즉, 상수 함수)를 의미합니다. 다시 표준 편차는 기본 분포가 정상임을 의미합니다. 표준 편차가 0이면 가우스 PDF가 제대로 정의되지 않아 모델에서 허용되지 않습니다.

— tdc

당신의 의견에 가우시안이 등장한 것에 놀랐습니다, 톰 이것은 불필요한 제한처럼 보입니다. pdf의 존재를 요구하는 것 또한 제한적인 것처럼 보입니다 (결국에는 pdf가있는 개별 배포가 없습니다). 또한 SD는 두 번째 모멘트가 유한 할 때마다 "의미있는"의미로 정의되며 여기에는 확률 원자 ( "Dirac 델타"함수)가 포함됩니다.

— whuber

좋아, 나는 아마도 지나치게 제한적 이었다는 데 동의하지만 일반적으로 이것이 SD의 사람들의 의미입니다. 예를 들어 Wolfram : "표준 편차는 처음 두 모멘트가 유한 한 분포에 대해 정의 할 수 있지만 기본 분포가 정규라고 가정하는 것이 가장 일반적입니다." 그러나 변수 중 하나에 대해 SD = 0 인 경우 상관 관계의 통계적 개념의 기본 가정이 충족되지 않는다는 점을 알고 있습니까?

— tdc

네, 톰, 당신의 마지막 진술은 제 자리에 있고 기꺼이 받아들입니다. 그러나, 그것이 표현하는 아이디어는 귀하의 답장에 크게 눈에 띄지 않습니다. 존재하는 경우 정규 분포, 로그, 델타 함수 및 분포 자체가 아닌 데이터에 대한 초점에 대한 설명에 묻혀 있습니다. BTW는 Wolfram 사이트에 나타나는 통계적 진술에주의해야한다. 통계 실무에 대한 그 특성화는 의문의 여지가있을 정도로 수학에 중점을두고있다. SD의 사용은 일반 배포 설정을 뛰어 넘습니다.

— whuber

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상관은 두 벡터 사이의 각도의 코사인입니다. Y에 대한 표준 편차가 0이라고 말하는 것은 벡터 Y- 평균 (Y)이 0 (또는 더 엄격하게는 적절한 벡터 공간에서 0을 나타냄)을 말하는 것과 같습니다. 따라서 문제는 "제로 벡터와 벡터 X- 평균 (X) 사이의 (코사인) 각도에 대해 무엇을 말할 수 있습니까?"입니다. 더 일반적으로, 내부 곱이있는 벡터 공간에서 영 벡터와 다른 벡터 사이의 각도는 무엇을 의미합니까? 내 의견으로는 이것에 대한 답은 하나 뿐이며,이 상황에서 "각도"의 개념은 의미가 없으므로이 상황에서의 상관 관계 개념은 의미가 없다는 것입니다.

— 데이비드 엡스타인
소스

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면책 조항, 나는 이미 받아 들여진 품질 답변이 있다는 것을 알고 있으므로 이것이 응답해야하지만 그것을 허용 할 경험 포인트는 없습니다. @Dilip은 관례에 대해 상관 관계를 0으로 정의 할 수 있다고 언급했지만, 실제로는 0이 아닌 (0이 아닌 SD의 경우) 상관 관계와는 매우 다른 해석을 가지므로 문제가되는 것 같습니다. 원래 질문은 "한 변수의 SD가 0 인 경우"입니다. 우리가 멈추고 '변수'의 정의를 생각하면 대답에 훨씬 더 직접적인 경로를 얻습니다. SD가 0 인 변수는 전혀 변수가 아니며 상수입니다. 따라서이 경우 두 개의 변수가 없으므로 상관 관계를 정의하는 것이 개념적으로 의미가 없습니다.

— 스카이 버너-페티
소스

의견이 충분하지 않으면 답변을 통해 의견을 말해서는 안됩니다.

— Michael R. Chernick