임의의 변수가 주어지면
어디 IID 유니폼 변수는 어떻게의 PDF 계산합니까이다 ?
임의의 변수가 주어지면
어디 IID 유니폼 변수는 어떻게의 PDF 계산합니까이다 ?
답변:
이 질문이 숙제 일 수도 있지만이 고전적인 기초 확률 질문에 몇 달이 지나도 여전히 완전한 답이 부족하다고 생각했기 때문에 여기에 하나를 드리겠습니다.
문제 진술에서 우리는
여기서 은 iid 입니다. 샘플의 모든 요소가 보다 작은 경우에만 임을 알고 있습니다. 그런 다음 @varty의 힌트에 표시된 것처럼 가 독립적 이라는 사실과 결합 하여 추론 할 수 있습니다U n i f o r m ( a , b ) Y < x x X i
여기서 는 균일 분포 의 CDF입니다 . 따라서 의 CDF 는 Y
때문에 절대적 연속 분포가 우리는 CDF를 미분하여 그 밀도를 유도 할 수있다 . 따라서 의 밀도 는Y
특별한 경우, , 우리가 가지고 (A)의 밀도이며, 베타 분포 와 및 이후 입니다.p Y ( y ) = n y n − 1 α = n β = 1 B e t a ( n , 1 ) = Γ ( n + 1 )
참고로, 순서대로 샘플을 정렬 할 경우 얻는 순서를 주문 통계 라고합니다 . 이 답변의 일반화는 @bnaul의 답변에 명시된 바와 같이 분산 샘플 의 모든 주문 통계에 Beta 분포 가 있다는 것입니다. U n i f o r m ( 0 , 1 )
샘플의 최대 값은 주문 통계 중 하나 , 특히 샘플 의 차 통계량 중 하나입니다 . 일반적으로 Wikipedia 기사에 설명 된대로 주문 통계 분포를 계산하는 것은 어렵습니다. 일부 특수 분포의 경우 주문 통계가 잘 알려져 있습니다 (예 : 베타 분포 된 주문 통계가있는 균일 분포).X 1 , … , X n
편집 : 샘플 최대 및 최소 에 대한 Wikipedia 기사 도 도움이되며 문제에 더 구체적입니다.
적절하게 정규화 될 때 IID 랜덤 변수의 최대 세트는 일반적으로 세 가지 극단적 인 값 유형 중 하나로 수렴됩니다. 이것은 Gnedenko의 정리입니다. 극한에 대한 중앙 제한 정리의 동등성입니다. 특정 유형은 모집단 분포의 꼬리 동작에 따라 다릅니다. 이것을 알면 제한 분포를 사용하여 최대 분포를 근사 할 수 있습니다.
[a, b]의 균일 분포는이 질문의 주제이므로 Macro는 n에 대한 정확한 분포와 아주 좋은 답변을주었습니다. 결과는 다소 사소합니다. 정규 분포의 경우 양호한 닫힌 형태는 가능하지 않지만 정상의 최대 값은 Gumbel 분포 F (x) = exp (-e )로 수렴됩니다 .x
균일 한 경우 정규화는 (ba) -x / n 및 F (bax / n) = (1-x / [n (ba)])n
이는 e 로 수렴합니다 . 여기서 y = bax / n입니다. y가 ba로 갈 때 F (y)는 1로 수렴합니다. 이것은 0을 모두 보유합니다. x / ( b − an
이 경우 정확한 값을 점근 제한과 쉽게 비교할 수 있습니다.