만약

9

이것은 숙제가 아닙니다.

하자 $X$ 임의의 변수가 될. 경우 $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ 와 $\text{Var}[X] = 0$ , 그이 따르지 $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

직관적으로, 이것은 명백해 보이지만 어떻게 그것을 증명할 지 잘 모르겠습니다. 나는 가정에서 따른다는 것을 알고 $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ 있습니다. 따라서

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ 이것은 어느 곳으로도 나를 인도하지 않는 것 같습니다.

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ 부터 시도 할 수

이제

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ 이면

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ 도

.

그러나 평등,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ 을 사용하려면 내 직감은

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ 이므로

X \equiv k

$X \equiv k$ 입니다.

이것을 어떻게 알 수 있습니까? 나는 모순에 의한 증거를 가정합니다.

반대로 모든 경우 이면 $X \neq k$ 모든 $X$ 의 경우 $(X-k)^2 > 0$ 이고 $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ 경우 $X$ 입니다. 우리는 모순이 있으므로 $X \equiv k$ 입니다.

내 증거가 들리는가? 그렇다면 그렇다면이 주장을 더 잘 증명할 수있는 방법이 있는가?

probability

— 클라리넷
소스

@ user777 원래이 방법을 시도했습니다 (내 방정식), 진행 방법을 잘 모르겠습니다.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Clarinetist

3

나는 체비 쇼프의 불평등이이 질문에 즉시 대답한다고 믿는다.

— whuber

@whuber : 최소한 Chebyshev의 불평등에 대한 Wikipedia의 진술에는 명시 적으로 0이 아닌 분산 이 필요합니다 . 나는 우리가 제로 분산 사례에 대해 어떤 종류의 기본 증거가

— 필요한지 알지 못합니다

1

@Stephan 범위 를 사용하여 비 퇴행 분포를 쉽게 혼합 하고 부등식을 적용하여 모든 대해 을 표시 할 모든 .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

다음은 정의 만 사용하여 다른 것을 보완하기위한 측정 이론적 증거입니다. 우리는 확률 공간 합니다. 알 과는 일체 고려 . 일부 , 및 에 대해 과 같은 가 있다고 가정하십시오 . 그런 다음 는 아래에서 와 근사 하므로 의 표준 정의에 의해 아래에서 근사한 간단한 함수의 적분의 최고 값으로, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ 이는 모순입니다. 따라서 , 입니다. 끝난.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
소스

5

모순으로이를 증명하십시오. 분산 과 가정 의 정의에 따라

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

여기서 는 의 확률 밀도입니다 . 참고 모두 있음 및 음수가된다. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

이제 이면 $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

측정 값이 0보다 크고 입니다. 하지만 $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(일부 스타일 인수가 여기에 포함될 수 있습니다) 따라서 $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - 케이)^{2} 에프 (엑스) 디 엑스 \geq \int_{유} (엑스 - 케이)^{2} 에프 (엑스) 디 엑스 > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

그리고 당신의 모순.

— 스테판 콜라 사
소스

2

란 무엇입니까 ? 와 동일 합니까? $X \equiv k$ $X = k$

베타 : Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

어쨌든, 그것은 분명하다

(엑스 - 이자형 [엑스])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

가정

이자형 [엑스 - 이자형 [엑스])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

그때

(엑스 - 이자형 [엑스])^{2} = 0 같이

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

내가 믿는 마지막 단계는 확률의 연속성 또는 당신이 한 일 (당신이 옳다는 것)과 관련이 있습니다.

프로그래머의도 체비 쇼프 부등식 :

$\forall \epsilon > 0$ ,

피 (| 엑스 - 케이 | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

피 (| 엑스 - 케이 | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to 피 (| 엑스 - 케이 | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

좋은 이야기 를 다시 .

왜 그런거야?

\int_{아르 자형} 엑스 디 에프 (엑스) = \int_{아르 자형} {엑스}^{2} 디 에프 (엑스)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

그것은 나에게 보인다 $LHS = k$ 동안 $RHS = k^2$

— BCLC
소스

1

그렇습니다. 글을 편집했습니다

— Clarinetist

@Clarinetist Edited mine too : P

— BCLC