주문 통계 변환

임의의 변수 및 은 독립적이며 - 한다고 가정합니다 . 보여 을 갖는다 배포. $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

설정하여이 문제를 시작했습니다. $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ 그런 다음 $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ 은 $(\frac{z}{a})^{2n}$ , $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ 은 $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ 밀도는 와 같이 쉽게 찾을 수 있습니다. $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ 및 $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

이것은 내가 계산할 때 다음에 어디로 가야할지 알기 힘든 곳입니다. 나는 그것이 변형과 관련이 있다고 생각하지만 확실하지 않습니다 ...

self-study data-transformation order-statistics

— 수잔
소스

반드시

X_{i}

$X_i$ 및

Y_{i}

$Y_i$ iid

만 아니라

X_{i}

$X_i$ 는

독립적 이라고 가정해야합니다

Y_{j}

$Y_j$ . 그것을 감안할 때,

와 직접 작업하는 것을 생각

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ 했습니까?

— whuber

@ whuber 귀하의 의견에서 내 생각은 n * log (Z

_{i}

$_i$ ) 의 밀도를 푸는 변환을 설정하는 것 입니까?

— Susan

약간의 재 포맷 (특히 와 을 와 으로 바꾸는 )을했지만, 마음에 들지 않으면 "편집 된 <x> 전"링크를 클릭하여 이전 버전으로 롤백 할 수 있습니다. 게시물 맨 아래에있는 내 gravatar 위)를 클릭 한 다음 이전 버전 위의 "롤백"링크를 클릭하십시오.

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b-복원 모니카

수잔, 그 질문을 잘못 해석했거나 잘못 이해 한 것 같습니다. 질문은 의 비율을 구합니다 . 분모는 : 여기서 은 의 최대 주문 통계량 이고 은 의 최대 주문 통계량입니다. 에스. 즉, 은 모든 및 의 최소값이 아닌 최소 (maxX, maxY)를 검색 하므로 Z 트릭을 사용할 수 없습니다 모든 X 및 Y 값을 병합 / 결합합니다. .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— Wolfies

어쨌든, 별도의 문제로, 다른 순서 통계가 없기 때문에 의 밀도와 의 밀도를 별도로 계산하는 지점이 없습니다 (완료 한 것처럼) 일반적으로 독립적입니다. 의 비율을 찾으려면 , 하나는 첫번째의 공동 PDF 파일을 찾을 필요가있을 것이다 ,이 경우 문제였다 손에 (그렇지 않다).

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— wolfies

답변:

이 문제는 정의만으로도 해결할 수 있습니다. 유일한 고급 계산은 단항의 적분입니다.

예비 관찰

변수와하자의 작품은 및 전체에이 변경되지 않습니다 하지만, 수 균일와 IID 의 모든 혼란 출연 제거 분포, 계산에 있습니다. 따라서 일반성을 잃지 않고 이라고 가정 할 수 있습니다 . $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

의 독립성 과 균일 분포 는 인 임의의 숫자 대해 암시합니다 . $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

대해 동일한 결과가 유지됩니다 . 나중에 참조 할 수 있도록 $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

해결책

를 양의 실수로 하자 . 의 분포를 찾으려면 해당 정의를 대체하고 결과 부등식을 단순화하십시오. $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

이 이벤트는 또는 이 둘 중 더 작은 지 여부에 따라 두 가지 가능한 경우로 나뉩니다 확률이 0 인 교집합은 무시할 수 있음). 따라서 이러한 경우 중 하나 ( 가 더 작은 경우) 의 확률 만 계산 하고 두 배로 늘리면됩니다. 이후 , ,시키는에 우리 (수 있도록 역할을합니다 의 ), 예비 부에서 계산을 적용하려면 $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

이것이 이 Exp 분포 를 갖는 것을 의미합니다 . $Z_n$ $(1)$

— 우버
소스

나는 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 해결책을 스케치 할 것입니다.

해결책

경우 크기의 샘플은 상위에 , 다음 샘플의 최대의 PDF는 : 및 와 유사합니다 . $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

접근법 1 : 의 공동 PDF 찾기 $(X_{(n)},Y_{(n)})$

이후 및 독립적으로, 2 개 개의 샘플의 최대 값의 결합 PDF 2 PDF의 단순히 제품 말할 : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

주어진 . 그런 다음 의 cdf 는 입니다. $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

여기서 Mathematica 가 자동화 하기 위해 mathStatica 패키지 의 Prob함수를 사용하고 있습니다 . cdf wrt 미분하면 의 pdf가 표준 지수로됩니다. $z$ $Z_n$

접근법 2 : 주문 통계

주문 통계를 사용하여 최대 및 최소 기능을 처리해야하는 메커니즘을 '우회'할 수 있습니다.

다시 한번 : 이 부모 에서 크기 의 표본 인 경우 표본 최대 의 pdf는 다음 과 같습니다. 말하자면, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

표본 최대 값 및 은이 분포에서 두 개의 독립적 인 도면입니다 . 즉, 과 의 순서 통계 (크기 2의 샘플은) 단지 우리가 찾고있는 무엇 : $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

와 같이 크기 2의 표본에서 의 공동 pdf 는 다음과 같습니다. $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

주어진 . 그런 다음 의 cdf 는 입니다. $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

이 방법의 장점은 확률 계산에 더 이상 max / min 함수가 포함되지 않으므로 파생 (특히 손으로)을 표현하기가 더 쉬워 질 수 있습니다.

다른

위의 내 의견에 따르면, 당신은 질문을 잘못 해석 한 것으로 보입니다 ...

우리는 다음을 찾아야합니다.

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

여기서 분모는 min (xMax, yMax)이며 ... 모든 및 의 최소값은 아닙니다 . $X$ $Y$

— 늑대
소스

당신의 스케치에 따라, 나는 질문을 어떻게 잘못 해석했는지 이해합니다. 두 샘플 최대 값의 공동 pdf를 계산하는 방법을 이해하지만 여전히 최대 / 분의 비율을 해석하는 방법을 잘 모르겠습니다.

— Susan

주문 통계를 사용하여 대체 파생을 추가했습니다.이 통계는 최대 / 최소를 '우회'합니다.

— wolfies

데이터 로그 Susan을 시작한 경우 비율이 아닌 순서 통계 의 차이점 을 보고있는 것 입니다.

— whuber

컴퓨터 공식 계산을 사용하는 것이 비율이 Exp (1) 랜덤 변수 인 이유를 설명하는 가장 좋은 방법이라고 확신하지 않습니다.

— 시안

좋은 점은 ... OP를 제외하고 이유를 묻지 않지만 ...이 Exp [1]임을 보여줍니다. 나는 이것이 숙제 (또는 과제)인지 아닌지 확실하지 않습니다 ... 그리고 그것은 실제로 컴퓨터를 사용하는 것의 좋은 이점입니다 : 하나는 따라야 할 단계를 제공하고 결과를 확인하여 올바른 접근 방식을 갖습니다 하지만 정비공은 여전히 OP에 맡겨져 있습니다. 누군가가 처음에 로그를 가져 오는 @ whuber의 제안을 탐색하는 것이 좋을 것입니다.

— wolfies