Infill Asymptotics의 수학적 정의

나는 채우지 않는 무증상을 사용하는 논문을 작성 중이며 리뷰어 중 한 명이 채워지지 않은 무증상이 무엇인지에 대한 엄격한 수학 정의를 제공하도록 요청했습니다 (즉, 수학 기호 및 표기법 사용).

나는 문헌에서 어떤 것도 발견 할 수 없었고 누군가 누군가 나를 지시하거나 자기 스스로 정의한 내용을 제공 할 수 있기를 바랐다.

불완전 무증상 (고정 도메인 무증상이라고도 함)에 익숙하지 않은 경우 다음과 같습니다. 불완전 무증상은 일부 고정 및 경계 지역에서 수가 증가함에 따라 점점 치밀 해지는 관측치에 기반합니다.

달리 말하면, 불충분 한 무증상은 고정 된 도메인에서 더 조밀하게 샘플링하여 더 많은 데이터가 수집되는 곳입니다.

나는 이미 Stein 1999와 Cressie 1993을 보았지만 "수학적으로"엄격한 것은 아무것도 없습니다.

여기 내 논문에서 인용 한 구절이 있습니다.

그러므로 우리가 다루고있는 무증상의 종류를 인식하는 것이 중요합니다. 우리의 경우, 우리가 다루는 무증상은 그 수가 증가함에 따라 일부 고정 및 경계 지역에서 점점 치밀 해지는 관측에 근거합니다. 점근 이러한 유형이라고도 고정 도메인 점근 (스테인, 1999) 또는 충진 점근 (Cressie, 1993). 고정 영역에서 더 조밀하게 샘플링하여 더 많은 데이터를 수집하는 Infill asymptotics는 다음과 같은 인수를 개발하는 데 중요한 역할을합니다.

주목할 점은 라틴 하이퍼 큐브 샘플링을 사용하여 관찰 한 것을 샘플링하는 것입니다.

크레시의 책에서 충진 무증상에 대해 말한 내용은 다음과 같습니다.

asymptotics definition

Cressie의 첫 번째 (1991) 판의 5.8 절, Infill Asymptotics 는 분명합니다. 수학적 표기법에 대한 정의를 제공하지는 않지만 (예 : "채우기보다 더 섬세한"점근 법의 예)는 수학적 표기법을 사용하여 두 페이지 후에 명시 적으로 제공됩니다. "무 충진 충전재"에 대한 자신의 논문 설명을 인용 해 주시겠습니까?

— whuber

@ whuber 나는 원래 질문에 인용을 추가했다

감사합니다. 그 인용은 충분히 구체적이지 않은 것 같습니다. 정확히 고정 도메인을 샘플링하는 방법은 무엇입니까? Cressie가 제공하는 예는 한 점을 샘플링 한 다음 영원히 다른 점을 기준으로 클러스터에서 샘플링하는 것입니다. 예를 들어, 균일 한 포아송 프로세스를 사용한 샘플링과는 다른 점근 적 행동을 보일 것입니다.

— whuber

@ whuber 라틴 하이퍼 큐브 샘플을 사용하고 있습니다.

답변에 매우 중요하므로 질문에 해당 정보를 포함하십시오.

— whuber

답변:

비 충진 무증상의 정의는 특별히 유용하지 않습니다 (기술적으로, 도메인이 고정 상태로 유지되고 샘플 크기가 증가하면 불충분 한 무증상입니다. 그러나 0에서 1 사이의 트랜 스펙 션에서 샘플을 채취하는 경우를 고려하십시오. 2, 1 / 2,3 / 4의 다른 샘플, 3/4, 7/8의 간격의 다른 샘플 등. 1의 값에 대해 많이 말할 수는 있지만 많이 말할 수는 없습니다. 그밖에.)

메우는 점근 전형적인 결과를 얻으려면, 당신은 다음과 같은 특성을 가진 디자인이 필요합니다 지역의 모든 하위 영역에 대한 어떤을 위해, , 소 지역에서 발생하는 샘플의 확률로 1 접근 . 이러한 샘플은 도메인에서 치밀합니다. $\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

때로는 충전재가 명시 적으로 제공되지 않고 디자인 만 제공됩니다. 예를 들어, Lahiri (Infill Asymptotics의 공간 데이터를 기반으로 한 Estimators의 불일치 에 관한 논문 )에서 그는 본질적으로 '지 터링 된'그리드 (일부는 작은 수준으로 임의성이지만 일반적으로 초 사각형의 샘플링을 기반으로 함) 인 설계를 설명합니다. 고정 영역에서 무조건 밀도가 높은 하위 지역). 그는 대부분의 바리오 그램 매개 변수가 일관되지 않은 것으로 추정되는 결과 (채우기 문제에 공통)를 얻습니다.

Lahiri, Lee 및 Cressie (공간 변수 그래프 매개 변수의 최소 제곱 추정기의 점근 분포 및 점근 효율) (J.StatPlanInf 2002, vol. 103, pp. 65-85)와 비슷하게 시스템 적으로 더 가깝게 간격을두고 다시 채워지는 충전 그리드를 고려합니다. 조밀 한 샘플.

밀도가 높은 샘플의 일반적인 결과는 충전 무증상이 실제로 공간 프로세스의 단일 실현이기 때문에 일관되게 추정 할 수있는 (슈퍼 모집단) 실제 바리오 그램의 유일한 매개 변수는 0에서의 기울기이지만 예측은 점점 더 좋아집니다. )

— 알래스카
소스

이 진술을 증명하는 방법을 알고 있습니까? "영역 ϵ의 모든 하위 영역에 대해, 임의의 ϵ> 0에 대해, 하위 영역에서 발생하는 샘플의 확률은 n → ∞로서 1에 접근한다. 이러한 샘플은 도메인에서 치밀하다."

거의 '밀도'의 정의입니다. 밀집된 시퀀스는 모든 위치에서 제한점이 있습니다. 따라서이 디스크가 하위 지역이므로 해당 지역의 임의의 위치와 그 주변 의 반경 을 선택하면 결국 관찰 할 수 있습니다. (참고 : 도메인이 병리학 적 위상이 아닌 합리적인 다각형이라고 가정하고 있습니다 ...) Poisson 공간 프로세스 (모든 곳에서 강도> 0), 인체 공학적 시퀀스, 간단한 무작위 샘플을 포함하여 많은 프로세스가 밀도가 높은 시퀀스를 생성합니다. 그리고 격자.

ϵ

$\epsilon$

— AlaskaRon

라틴 하이퍼 큐브가 무증상 밀도가 높다는 논문을 알고 있습니까?

Latin Hypercube 샘플링의 정의부터 시작해 봅시다. 완벽하게 명확하게하고 표기법을 확립하기 위해서입니다. 그런 다음 채우기 무증상을 정의 할 수 있습니다.

LHS

상자의 라틴 하이퍼 큐브 샘플링 은 각 차원을 동일한 길이의 부분 , 이에로 분할 셀 $\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

여기서 각 인덱스 에 대해 입니다 . $0 \le i_j \lt N$ $j$

샘플링 먼저 선택함으로써 발생 이러한 세포 균일 독립적와없는 그런 식으로 모든 세포의 수집에서 교체 $N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

(이것은 "각 행과 각 열에 단 하나의 샘플 만있는" 차원 상황 의 차원 일반화입니다 .) 그런 다음 의 각 셀은 모든 지점에서 균일하고 독립적으로 선택된 위치에서 샘플링됩니다. 셀들의 세트의 제조 쌍 지시 (위치, 관측) 값을. $d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$

충진 무증상

아마도 몇몇 절차 각 하이퍼 큐브 라틴어 샘플에 적용된 크기의 (A)의 고정 상자 추정치 산출 각각의 . 이로 인해 시퀀스가 발생합니다 $t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

임의의 변수. 충전 부족 증상 은 이 제한없이 성장함에 따라이 서열의 거동을 나타냅니다 . $N$

— 우버
소스