iid 랜덤 변수의 예상 값

내가 이해하지 못하는이 파생을 발견했습니다 이 평균 및 분산 의 모집단에서 가져온 크기 n의 임의 샘플 인 경우$X_1, X_2, ..., X_n$$\mu$$\sigma^2$

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

내가 잃어버린 곳입니다. 사용 된 인수는 입니다. 동일하게 분포되어 있기 때문입니다. 실제로 이것은 사실이 아닙니다. 샘플이 있고 2 개의 숫자를 임의로 절차를 10 번 반복하면 10 개의 샘플을 얻습니다. (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). 이것이 2 개의 임의 변수 대한 모습 입니다. 이제 의 기대 값을 가져 오면$E(X_i) = \mu$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$X_1, X_2$$X_1$

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

그러나 인구의 예상 가치는 3.5입니다. 내 추론에서 실제로 무엇이 잘못 되었습니까?

우선, 은 샘플이 아닙니다. 이들은 Tim이 지적한 임의의 변수입니다. 식품에서 물의 양을 추정하는 실험을하고 있다고 가정합니다. 이를 위해 100 가지 식품에 대해 수분 함량을 100 회 측정합니다. 수분 함량을 얻을 때마다. 여기서 수분 함량은 임의의 변수이며 이제 세계에 총 1000 개의 식품이 있다고 가정합니다. 100 가지의 다른 음식 품목을이 1000 가지 음식 품목의 샘플이라고합니다. 수분 함량은 랜덤 변수이며, 얻은 수분 함량 100 값은 샘플을 만듭니다. $X_1, X_2,...,X_n$

확률 분포에서 n 개의 값을 무작위로 독립적으로 추출한다고 가정하면, 입니다. 이제 예상 값 을 찾아야합니다 . 각각 때문에 독립적이고 동일하게 샘플링은 각각의 기대치 이다 . 따라서 를 얻습니다.$E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$$\frac{n\mu}{n} =\mu$ 됩니다.

귀하의 질문에 대한 세 번째 방정식은 추정값이 모집단 모수의 편향 추정값이되는 조건입니다. 추정자가 편향되지 않는 조건은 다음과 같습니다.

여기서 theta는 모집단 모수이고 는 표본에 의해 추정 된 모수입니다.$\bar{\theta}$

$\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. 문제는이 표본에서 모집단 평균을 어떻게 추정 할 것인가입니다. 위 공식에 따르면 표본의 평균은 모집단 평균의 편견 추정치입니다. 바이어스되지 않은 추정량은 실제 평균과 같을 필요는 없지만이 정보를 얻을 수있는만큼 평균에 가깝습니다.