확률 분포의 앙상블이 완료된 토폴로지

나는 확률 분포에 대한 거의 모든 토폴로지가 가지고있는 이상한 속성으로 확률 분포에 대한 직관적 인 이해를 조정하는 데 상당히 어려움을 겪고 있습니다.

예를 들어, 혼합 임의 변수 고려하십시오 . 분산이 1이고 확률이 인 0을 중심으로 한 가우시안을 선택 하고 결과 에 을 추가하십시오 . 이러한 임의의 변수 시퀀스는 분산 1을 사용하여 0을 중심으로하는 가우시안으로 수렴 (약하고 전체 변동)되지만 의 평균 은 항상 이고 분산은 수렴합니다 . 나는이 시퀀스가 ​​그것 때문에 수렴한다고 말하는 것을 정말로 좋아하지 않습니다.$X_n$$\frac{1}{n}$$n$$X_n$$1$$+\infty$

토폴로지에 대해 잊어 버린 모든 것을 기억하는 데 꽤 시간이 걸렸지 만 마침내 그러한 예에 대해 나에게 불만족스러운 것이 무엇인지 알아 냈습니다. 시퀀스의 한계는 일반적인 분포가 아닙니다. 위의 예에서 한계는 이상한 "평균 1의 가우시안"이고 무한 분산입니다. 위상 적으로 볼 때, 확률 분포는 약한 상태 (그리고 TV와 내가 본 다른 모든 토폴로지)에서는 완전하지 않습니다.

그런 다음 다음 질문에 직면합니다.

• 확률 분포 앙상블이 완료되는 토폴로지가 있습니까?

• 그렇지 않다면, 그 부재는 앙상블 확률 분포 앙상블의 흥미로운 속성을 반영 하는가? 아니면 그냥 지루합니까?

참고 : "확률 분포"에 대한 질문을했습니다. 이것들은 Dirac과 pdf가없는 것과 같은 것들로 수렴 할 수 있기 때문에 닫을 수 없습니다. 그러나 약한 토폴로지에서 측정 값이 여전히 닫히지 않으므로 내 질문이 남아 있습니다.

mathoverflow에 크로스 포스트 /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

보다 좁은 통계 각도 (일반적인 수학적 위상 문제는 유효 함)에서 문제를 보면 모멘트의 순서가 제한 분포의 모멘트로 수렴되지 않을 수 있다는 사실은 잘 알려진 현상입니다. 이것은 원칙적으로 시퀀스의 잘 동작하는 제한 분포의 존재를 의심의 여지없이 자동으로 설정하지 않습니다.

상기 서열의 제한 분포 A가 올바르게 동작 인 유한 순간에 분포. 수렴하지 않는 순간의 순서입니다. 그러나 이것은 우리가 임의의 변수 (통합, 밀도 등) 의 기능 으로 구성된 시퀀스 와 다른 시퀀스입니다. 우리가 제한 분포에 관심이있는 무작위 변수의 시퀀스는 아닙니다.$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$