Slutsky의 정리는 두 시퀀스가 모두 비 변형 랜덤 변수로 수렴 될 때 여전히 유효합니까?

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나는 Slutsky의 정리 에 대한 몇 가지 세부 사항에 대해 혼란스러워합니다 .

하자 , 스칼라 / 벡터 / 행렬 랜덤 요소 두 시퀀스 수. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

만약 임의의 요소에 분배 수렴 및 정수의 행 확률 수렴 다음 이 제공 여기서 가역 인 는 분포의 수렴을 나타냅니다. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

만약 슬 루츠 키 정리의 두 서열이 모두 비 퇴행 랜덤 변수로 수렴된다면, 그 정리는 여전히 유효하며, 그렇지 않다면 (누군가 예를 제공 할 수 있을까요?), 그것을 유효하게하는 추가 조건은 무엇입니까?

— 니콜라스 H
소스

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Slutsky의 정리는 랜덤 변수에 대한 분포에서 수렴하는 두 시퀀스로 확장되지 않습니다. 경우 에게 배포 수렴 , 잘 수렴 실패하거나보다는 뭔가 다른 수렴 할 수있다 . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

예를 들어, 모든 대해 이면 은 와 동일한 분포를 갖는 두 rv의 차이로 수렴하지 않습니다 . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

또 다른 반대의 예 는 및 시퀀스 가 독립적이고 둘 다 정의하는 경우 일반 변수 로 분산되어 수렴하는 경우입니다 및 이면 이 예에 대한 자세한 내용은 Davide의 답변을 참조하십시오 . $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— 시안
소스

2

그것을 확장하려면 독립성과 같은 무언가가 더 필요합니다.

— kjetil b halvorsen

두 시퀀스가 모두 상수로 수렴되는 경우 상수가 RV의 특수한 (변 성적) 경우이기 때문에 Slutsky DOES가 여전히 적용된다고 생각하고 있습니까?

— 하프 패스

1

@ half-pass : 맞습니다.

— 시안

4

이 공분산 행렬이 이고 인 가우시안 중심 벡터 라고 가정합니다 . 대해 및 정의하십시오 . 그런 다음 및 여기서 와 는 표준 정규 랜덤 변수입니다. 그러나 은 가우시안이며 중심이며 분산은 입니다. 분포에 대해서는 알려진 바가 없기 때문에 분포에서 로 주장 할 수 없습니다 . $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

이 예제는 우리가 일반적으로 와 를 분포에 가질 수 있지만 분포에 대한 정보가 없으면 수렴 가 실패 할 수 있음을 나타냅니다. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

물론 이면 모든 것이 (예 : 이 및 의 와 독립적 인 경우) . 일반적으로 시퀀스 만 주장 할 수 있습니다. 타이트 (즉, 각각의 포지티브 우리 찾을 수 되도록 ).이 내포 우리가 정수의 증가 순서 찾을 수 이되도록 어떤 임의의 변수에 분포 수렴 . $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

제안. 가우스 랜덤 변수 및 시퀀스가 존재 하여 임의의 에 대해 증가하는 정수 시퀀스를 찾을 수 있습니다 이되도록 에 분포 수렴 . $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

증명. 유리수 의 열거 형 과 . 들면 정의 가우스 바와 같이 벡터를 중심 공분산 행렬 . 이 선택으로, 가 합리적 일 때 제안의 결론이 만족됨을 알 수 있습니다 . 일반적인 경우 근사 인수를 사용하십시오. $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— 다비데 기라 우도
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Slutsky의 정리는 두 시퀀스가 ​​모두 비 변형 랜덤 변수로 수렴 될 때 여전히 유효합니까?

Slutsky의 정리는 두 시퀀스가 모두 비 변형 랜덤 변수로 수렴 될 때 여전히 유효합니까?