Secret Santa 배열이 완벽한 페어링을 제공 할 가능성

그래서 우리는 직장에서 Secret Santa을 가졌습니다.

우리는 8 명입니다. 우리는 각각 차례를 바꾸어 그릇에 이름이 적힌 작은 종이를 가져 왔습니다. 유일한 규칙 : 이름을 당기면 종이를 그릇에 넣고 다시 시도해야합니다.

사람들 A, B, C, D, E, F, G, H에게 전화를 걸자. 그들은 종이를 집어 넣는 순서이기도하다.

어젯밤 선물 교환을 했어

A는 F의 비밀 산타였습니다.
B는 E의 비밀 산타였습니다.
C는 D의 비밀 산타였습니다.
D는 C의 비밀 산타였습니다.
E는 B의 비밀 산타였습니다.
F는 A의 비밀 산타였습니다.
G는 H의 비밀 산타였습니다.
H는 G의 비밀 산타였습니다.

무슨 일이 있었나요? 우리는 커플을 만들었습니다.

A와 F는 서로의 비밀 산타였습니다.
B와 E는 서로의 비밀 산타였습니다.
C와 D는 서로의 비밀 산타였습니다.
G와 H는 서로의 비밀 산타였습니다.

이 일이 일어날 확률은 무엇이며 어떻게 계산합니까?

자신에게 할당 된 사람이없는 명의 n 인 중 총 과제 수 는 d ( 2 n ) = ( 2 n )입니다 ! ( 1 / 2 - 1 / 6 + ⋯ + ( - 1 ) K / K ! + ⋯ + 1 / ( 2 N ) ! ) . (이를 derangements 라고합니다 .) 값은 $2n$

$$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$$ .$(2n)! / e$

그것들이 완벽한 짝을 이루는 것이라면, 그들은 서로 다른 전치 의 산물입니다 . 이것은 그들의 사이클 구조 가 형태 임을 암시합니다

$$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$$

$2n$$n!$$2^n n!$

$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

그런 페어링.

이러한 완벽한 페어링은 모두 Derangements이고 모든 Derangement는 똑같이 가능하므로 기회는 같습니다

$$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$$

$2n=8$$15/2119 \approx 0.00707881$$e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

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이를 확인하기 위해이 R시뮬레이션은 8 개의 객체에 대한 백만 개의 임의 순열을 도출하고 배치 된 것만 유지하며 완벽한 쌍을 이루는 개수를 계산합니다. 추정값, 추정값의 표준 오차 및 Z- 점수를 출력하여 이론 값과 비교합니다. 출력은

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

$0.0066$$0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

@ whuber 답변의 우아함에 깊은 인상을 받았습니다. 솔직히 말해서 나는 그의 솔루션의 단계를 따르기 위해 새로운 개념에 대해 많은 것을 알게되었습니다. 그것에 많은 시간을 보낸 후, 나는 내가 얻은 것을 게시하기로 결정했습니다. 따라서 다음은 이미 승인 된 답변에 대한 주석입니다. 이러한 방식으로 독창성을 시도하지 않으며, 나의 유일한 목표는 관련된 단계 중 일부를 수행하기 위해 몇 가지 추가 고정 점을 제공하는 것입니다.

그래서 여기에 ...

$2n$

2. 우리는 분열에 대한 공식을 도출 할 수 있습니까?

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

이제이 방정식의 LHS와 괄호 안의 RHS 부분 사이의 병렬성을 주목하면서 우리는 재귀 적으로 계속할 수 있습니다.

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

이는 임을 의미합니다.$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

거꾸로 작업 :

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

일반적으로

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$$x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$${b,d,a,c,f,e}$a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f$(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$$2n$$2^n$$n!$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

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에 대한 R시뮬레이션 :

1. paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x]$8$Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2. good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$$(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired) 다이어그램에서 위와 같이 쌍을 이루는 순열을 제외해야합니다.

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.