음수가 아닌 정수에 대한 이산 분포에서 표본 추출하는 방법은 무엇입니까?

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는 상수로 알려진 다음과 같은 불연속 분포 가 있습니다. $\alpha,\beta$

p (x; α, β) = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} for x = 0, 1, 2, \dots

$p(x;\alpha,\beta) = \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)} \;\;\;\;\text{for } x = 0,1,2,\dots$

이 분포에서 효율적으로 표본을 추출하는 방법은 무엇입니까?

— jII
소스

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이것은 위키 백과 표기법을 사용하여 매개 변수 베타 음수 이항 분포 입니다. 이 정수인 경우 Beta-Pascal distribution 이라고도 합니다. 의견에서 언급했듯이, 이것은 성공 확률 이전에 켤레 베타가있는 베이지안 음 이항 모델의 예측 분포입니다. $r=1$ $r$

따라서 만약 샘플링하여 샘플링 수 변수 다음 음 이항 가변 샘플링 와 ( 케이스에서, 즉 기하 분포를 말하면). $\text{Beta}(\alpha,\beta)$ $u$ $\text{NB}(r,u)$ $r=1$

이 배포판은 R 패키지로 구현됩니다 brr. 샘플러에는 name rbeta_nbinom, pmf에는 name dbeta_nbinom등이 있습니다. 표기법은 , , 입니다. 검사: $a=r$ $c=\alpha$ $d=\beta$

> Alpha <- 2; Beta <- 3
> a <- 1
> all.equal(brr::dbeta_nbinom(0:10, a, Alpha, Beta), beta(Alpha+a, Beta+0:10)/beta(Alpha,Beta))
[1] TRUE

코드를 살펴보면 실제로 패키지 의 ghyper(일반화 된 초 지오메트리) 분포 제품군을 호출하는 것을 볼 수 있습니다 SuppDists.

brr::rbeta_nbinom
function(n, a, c, d){
  rghyper(n, -d, -a, c-1)
}

실제로, BNB 분포는 타입 IV 일반화 된 초 지오메트리 분포로 알려져있다 . 의 도움을 참조하십시오 ghyper에서 SuppDists패키지를. 나는 이것이 Johnson & al의 책 Univariate Discrete Distributions 에서도 찾을 수 있다고 생각합니다 .

— 스테판 로랑
소스

이 답변은 훌륭하지만 게시 된 밀도 OP가 음의 이항 밀도와 같다는 것을 증명하면 더 좋습니다.

— Sycorax는 Reinstate Monica가

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@ user777 나는 OP의 저자가 Xian의 답변에 대한 의견 (전역 켤레 베타가있는 음성 이항 모델의 앞선 예측 분포)에 대한 견해를 고려하여 스스로 그것을 증명했다고 생각합니다.

— Stéphane Laurent

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주어진 가 로 감소 합니다. 균일 한 변량 및 누적 합계 계산 까지 실현은 대응 . 이후

\frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β}

$\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}$

x

$x$

u \sim U (0, 1)

$u\sim\mathcal{U}(0,1)$

S_{k} = \sum_{x = 0}^{k} \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)}

$S_k=\sum_{x=0}^k \frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}$

S_{k} > u

$S_k>u$

k

$k$

\begin{aligned} R_{x} & = \frac{Beta (α + 1, β + x)}{Beta (α, β)} \\ = \frac{α}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} \dots \frac{β}{α + β} \\ = \frac{α + β + x - 1}{α + β + x} \frac{β + x - 1}{α + β + x - 1} R_{x - 1} \\ = \frac{β + x - 1}{α + β + x} R_{x - 1} \end{aligned}

$\eqalign{R_x&=\frac{\text{Beta}(\alpha+1, \beta+x)}{\text{Beta}(\alpha,\beta)}\\&=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+x}\dfrac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}\cdots\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\\&=\frac{\alpha+\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x-1}R_{x-1}\\&=\frac{\beta+x-1}{\alpha+\beta+x}R_{x-1}}$ 및 는 감마 함수 사용을 피할 수 있습니다.

S_{k} = S_{k} - 1 + R_{k}

$S_k=S_k-1+R_k$

— 시안
소스

1

(+1) 하면 크게 촉진됩니다 작품.

S_{k} = 1 - \frac{Γ (a + b) Γ (b + k + 1)}{Γ (b) Γ (a + b + k + 1)}

$S_k = 1-\frac{\Gamma (a+b) \Gamma (b+k+1)}{\Gamma (b) \Gamma (a+b+k+1)}$

— whuber

1

편집 : 나는 감마 함수를 악용해도 , 및 측면에서 를 푸는 데 도움이 될 것입니다 . 예를 들어, 및 평가에서 Stirling 's Formula를 사용한 다음 몇 개의 Newton-Raphson으로 연마 하여 에 대한 초기 근사값을 찾을 수 있습니다. 단계. 그것들은 로그 감마와 그 파생어에 대한 평가가 필요합니다. 물론 와 가 모두 정수라면 솔루션은 다항식의 근간이되지만 감마를 사용하는 것은 여전히 갈 길입니다.

k

$k$

u

$u$

α

$\alpha$

β

$\beta$

u

$u$

Γ (b + k + 1)

$\Gamma(b+k+1)$

Γ (a + b + k + 1)

$\Gamma(a+b+k+1)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

1

좋은 대답입니다! SL에 의해 주어진 대답은 핵심 질문 (원래 질문의 일부는 아님)을 가져 왔으며, 사후 예측에서의 샘플링은 후부의 매개 변수를 샘플링 한 다음 우도에서 데이터를 샘플링하는 것과 같습니다. 특히, 위의 분포 함수는 모수 에 앞서 베타가있는 기하 데이터의 사후 예측입니다 .

p

$p$

— jII