크기 의 갑판에서

우리는 카드 의 갑판이 있습니다. 교체로 무작위로 무작위로 카드를 뽑습니다. 추첨 후 , 선택되지 않은 예상 카드 수는 얼마입니까?$n$$2n$

이 질문은 문제 2.12의 2 부입니다.

M. Mitzenmacher와 E. Upfal, 확률 및 컴퓨팅 : 무작위 알고리즘 및 확률 론적 분석 , Cambridge University Press, 2005.

또한 가치가있는 것은 숙제 문제가 아닙니다. 그것은 자율 학습이며 막 붙어 있습니다.

지금까지 내 대답은 다음과 같습니다.

하자 애프터 볼 별개의 카드의 숫자 그릴 번째. 그때:$X_i$$i$

$E[X_i] = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k (\frac{k}{n}P(X_{i-1}=k) + \frac{n-k-1}{n} P(X_{i-1}=k-1))$

여기서 아이디어는 우리가 그릴 때마다 우리가 본 카드 나 우리가 보지 못한 카드를 그리고 이것을 재귀 적으로 정의 할 수 있다는 것입니다.

마지막으로, 우리는 얼마나 많은 질문에 대한 대답 하지 후 본 그리는이 될 것 .$2n$$n-E[X_{2n}]$

나는 이것이 옳다고 생각하지만 더 간단한 해결책이 있어야합니다.

도움을 주시면 감사하겠습니다.

힌트 : 어떤 추첨에서 카드가 선택되지 않을 확률은 . 우리는 교체로 그림을 그리기 때문에 각 그림이 다른 그림과 독립적이라고 말할 수 있다고 가정합니다. 따라서2n드로우에서 카드가 선택되지 않을 확률은 ...$\frac{n-1}{n}$$2n$

힌트를 주신 Mike에게 감사합니다.

이것이 내가 생각해 낸 것입니다.

$X_i$$X_i = 1$$i^{th}$$p_i = P(X_i=1) = (\frac{n-1}{n})^{2n}$$p_i$$i$$p=p_i$

이제 는 2 n 추첨 후에도 뽑지 않은 카드의 수입니다 .$\displaystyle X = \sum_{i=1}^n X_i$$2n$

그런 다음 $\displaystyle E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n p = np$

그리고 그렇게 생각합니다.

이론을 검증하는 R 코드가 있습니다.

evCards <- function(n) 
{
    iter <- 10000;
    cards <- 1:n;
    result <- 0;
    for (i in 1:iter) {
        draws <- sample(cards,2*n,T);
        uniqueDraws <- unique(draws,F);
        noUnique <- length(uniqueDraws);
        noNotSeen <- n - noUnique;
        result <- result + noNotSeen;
    }
    simulAvg <- result/iter;
    theoryAvg <- n * ((n-1)/n)^(2*n);
    output <-list(simulAvg=simulAvg,theoryAvg=theoryAvg);
    return (output);
}