iid Gumbel 변수의 최대 기대치

나는 임의의 실용 신안에서 사용 된 특정 결과에 대해 경제 저널에서 계속 읽습니다. 결과의 한 버전은 다음과 같습니다. Gumbel ( 이면 $\epsilon_i \sim_{iid},$ $\mu, 1), \forall i$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = μ + γ + \ln (\sum_{i} \exp {δ_{i}}),

$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$

여기서 $\gamma \approx 0.52277$ 은 Euler-Mascheroni 상수입니다. 나는 이것이 R을 사용하여 의미가 있는지 확인했으며, 그렇게합니다. Gumbel $(\mu, 1)$ 배포판 의 CDF 는 다음과 같습니다.

G (ϵ_{i}) = \exp (- \exp (- (ϵ_{i} - μ)))

$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$

나는 이것에 대한 증거를 찾으려고 노력했지만 성공하지 못했습니다. 나는 그것을 스스로 증명하려고 노력했지만 특정 단계를 지나칠 수는 없습니다.

누구든지 이것을 증명할 수 있습니까? 그렇지 않다면 어쩌면 내가 시도한 증거를 내가 붙어있는 곳까지 게시 할 수 있습니다.

expected-value gumbel

— 제이슨
소스

관련 : stats.stackexchange.com/questions/57506/…

— Adrian

귀하의 답변에 나타난 작품에 감사드립니다. 그 기여에 감사드립니다. 이 게시물의 목적은 더 간단한 데모를 제공하는 것입니다. 단순성의 가치는 계시입니다. 기대치뿐만 아니라 최대치의 전체 분포를 쉽게 얻을 수 있습니다 .

를 로 흡수 하고 모두 Gumbel 분포 가 있다고 가정하여 를 무시하십시오 . (즉, 각 를 로 바꾸고 를 변경하십시오.) 이것은 임의 변수를 변경하지 않습니다. $\mu$ $\delta_i$ $\epsilon_i$ $(0,1)$ $\epsilon_i$ $\epsilon_i-\mu$ $\delta_i$ $\delta_i+\mu$

X = max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i}) = max_{i} ((δ_{i} + μ) + (ϵ_{i} - μ)) .

$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$

의 독립성은 모든 실제 대해 가 개별 확률 의 곱임을 의미합니다 . 로그를 취하고 지수 수율의 기본 속성을 적용 $\epsilon_i$ $x$ $\Pr(X\le x)$ $\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

\begin{aligned} \log Pr (X \leq x) & = \log \prod_{i} Pr (δ_{i} + ϵ_{i} \leq x) = \sum_{i} \log Pr (ϵ_{i} \leq x - δ_{i}) \\ = - \sum_{i} e^{δ_{i}} e^{- x} = - \exp (- x + \log \sum_{i} e^{δ_{i}}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$

위치 매개 변수가 Gumbel 분포의 CDF 로그입니다 그건, $\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

$X$ 에는 Gumbel 분포가 있습니다. $\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

이것은 요청 된 것보다 훨씬 많은 정보입니다. 이러한 분포 의 평균 은 수반됩니다. $\gamma+\lambda,$

E [X] = γ + \log \sum_{i} e^{δ_{i}},

$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$

QED.

— 우버
소스

그것은 밝혀 이코노 메트 리카의 케네스 작은 하비 로젠에 의해 문서는 1981 년이 보였다,하지만 결과 때문에 매우 전문 맥락에서 파고 많은, 말할 것도없고 경제에 약간의 훈련이 필요합니다. 좀 더 접근하기 쉬운 방식으로 증명하기로 결정했습니다.

증명 : 여러 대안으로 삼으십시오. 벡터 에 따라 함수 는 다른 값을 갖습니다. 먼저, 과 같이 값에 초점을 맞추십시오 . 즉, 우리가 통합됩니다 설정을 통해 : $J$ $\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$ $\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$ $\boldsymbol{\epsilon}$ $\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$ $\delta_1 + \epsilon_1$ $M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{1}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) [\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} . . . \int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{2}) . . . f (ϵ_{J}) d ϵ_{2} . . . d ϵ_{J}] d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} f (ϵ_{2}) d ϵ_{2}) . . . (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{J}) d ϵ_{J}) d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}) . . . F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}) d ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$

위의 용어는 에서 의 첫 번째 용어입니다 . 구체적으로 특별히, $J$ $E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] .

$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$

이제 우리는 Gumbel 배포의 기능적 형태를 적용합니다. 이것은 준다

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} e^{- e^{μ - ϵ_{i}}} \prod_{j \neq i} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \prod_{j} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {\sum_{j} - e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {- e^{μ - ϵ_{i}} \sum_{j} e^{δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$

여기서 두 번째 단계는 경우 이라는 사실과 함께 지수로 된 용어 중 하나를 제품에 수집하는 것입니다 . $\delta_j - \delta_i = 0$ $i = j$

이제 를 정의하고 하여 및 . 참고로하는 것이 무한대에 접근, 0에 접근하고, 같은 음의 무한대에 접근, 무한대에 접근한다. $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$ $x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$ $dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$ $\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$ $\epsilon_i$ $x$ $\epsilon_i$ $x$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{\infty}^{0} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) (- \frac{1}{D_{i}}) \exp {- x} d x \\ = & \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) e^{- x} d x \\ = & \frac{δ_{i} + μ}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x - \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x + \frac{\log [D_{i}]}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$

감마 함수는 됩니다. 양의 정수인 값은따라서 입니다. 또한 오일러-마스 상수 만족되는 것으로 알려져 있습니다. $\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$ $t$ $\Gamma(t) = (t - 1)!$ $\Gamma(1) = 0! = 1$ $\gamma \approx 0.57722$

γ = - \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x .

$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$

이 사실을 적용하면

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

그런 다음 우리는 를 합하여 $i$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

그 리콜 . 친숙한 로짓 선택 확률 는 의 역수 , 즉 입니다. 또한 입니다. 그럼 우리는 $D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$ $P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$ $D_i$ $P_i = 1/D_i$ $\sum_i P_i = 1$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = & \sum_{i} P_{i} (δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]) \\ = & (μ + γ) \sum_{i} P_{i} + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [D_{i}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\frac{\sum_{j} e^{δ_{j}}}{e^{δ_{i}}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] - \sum_{i} P_{i} \log [e^{δ_{i}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] \sum_{i} P_{i} - \sum_{i} P_{i} δ_{i} \\ = & μ + γ + \log [\sum_{j} \exp {δ_{j}}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$ QED

— 제이슨
소스

나는 내가 믿고있는 것을 당신이 언급 한 기사라고 생각했다. 잘못된 경우 수정하십시오.

— Dougal

@Jason 최대 값이 최대 값에 대한 조건부 일 때 이것이 무엇인지 증명하는 방법을 알고 있습니까? 여기에서 해결되지 않은 질문을보십시오 : stats.stackexchange.com/questions/260847/…

— wolfsatthedoor