어떻게에서 가장 큰 용어에

고려 $\sum_{i=1}^N |X_i|$ 여기서 $X_1, \ldots, X_N$ 은 iid이고 CLT는 유지합니다.
가장 큰 항의 총합이 총합의 절반에 합됩니까?
예를 들어, 10 + 9 + 8 $\approx$ (10 + 9 + 8 $\dots$ + 1) / 2 : 용어의 30 %가 전체의 절반에 도달합니다.

밝히다
$\qquad\text{sumbiggest( j}; X_1 \dots X_N ) \equiv \text{sum of the j biggest of } |X_1| \dots |X_N|$
$\qquad\text{halfsum}( N ) \equiv \text{the smallest j such that sumbiggest( j )} \approx \text{sumbiggest}( N ) / 2 .$

halfsum ( $N, \mu, \sigma$ )에 대한 일반적인 점근 결과가 있습니까?
간단하고 직관적 인 파생이 좋을 것입니다.

(약간의 몬테 카를로는 때때로 halfsum (제안 $N$ ) $\approx N$ / 4 정도
의의 가장 큰 1/4 $X_i$ . 1/2 총까지 추가가
나는 0.24 얻을 $N$ halfnormal를 들어, 0.19 $N$ 대한 $N$ = 20, 50, 100의 경우 지수 .)

central-limit-theorem asymptotics

— 거부
소스

CLT와 같은 보편적 인 결과를 기대하지 마십시오. 예를 들어, uniform (0,1) 변수에 대한 답은 uniform (1000,1001) 변수에 대한 답과 매우 다릅니다!

— whuber

물론, 하프 섬은 물론 평균과 SD에 달려 있습니다. 그러나 왜 ~ N / 5 지수?

— 데니스

점근, 데니스 상기 halfsum 대한 컷오프 값 것이다

되는

대한 PDF이다

; 질문은

(

는

의 cdf입니다 ). 유니폼

x

$x$

\int_{0}^{x} t f (t) d t = 1 / 2

$\int_0^x t f(t)dt = 1/2$

f

$f$

| X_{i} |

$|X_i|$

N (1 - F (x))

$N(1-F(x))$

F

$F$

| X_{i} |

$|X_i|$

[0, 1]

$[0,1]$ 배포는 @Dilip의 답변을 얻습니다. 지수의 경우

x \approx 0.186682 N \approx N / 5

$x\approx 0.186682 N \approx N/5$

— whuber

답변:

아니요, 일반적인 점근 적 결과는 없습니다. 하자 순서화되는 여기서, 가장 크다. $x_{[1]} \dots x_{[N]}$ $x_i$ $x_{[1]}$

다음 두 가지 예를 고려하십시오.

1) 입니다. 분명히 CLT는 유지합니다. 에 대한 관측치 만 필요 합니다. $P(x=0) = 1$ $M=1$ . $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

2) 입니다. 분명히 CLT는 유지합니다. 당신이 필요로하는 에 대한 관찰을 $P(x=1) = 1$ $M=\lceil N/2\rceil$ . $\sum_{j=1}^M|x_{[j]}| \ge \frac{1}{2} \sum_N|x_i|$

사소한 예를 들어, Bernoulli 분포 :

3) 입니다. 다시 한번 CLT가 유지됩니다. 조건을 충족하려면 관측치의 가 필요 합니다. 를 0과 1 사이에서 다양하게 하면 원하는대로 예제 1 또는 예제 2에 가깝게 얻을 수 있습니다. $P(x=1) = p,\space P(x=0) = 1-p$ $\lceil pN/2\rceil$ $p$

— 보보 맨
소스

답이

과

사이에있을 수 있지만, 이것이 일반적인 결과가 존재하지 않음을 의미하지는 않습니다. 이것이 의미하는 것은 분수가 평균 및 SD와 같은 기본 분포의 일부 속성에 의존하는 답을 고려해야한다는 것입니다. 이것들은 CLT와 함께

가 합계에 비해 어떻게 분포 되는지에 대한 구체적이고 정량적 인 정보를 제공하기에 충분 하므로 그러한 결과를 기대하는 것이 합리적입니다.

0

$0$

N / 2

$N/2$

x [i]

$x[i]$

— whuber

다음은 균일하게 분포 된 랜덤 변수에 대해 약간 다른 추정치를 제공하는 조잡한 주장입니다. 가 에 균일하게 분포 된 연속 랜덤 변수 라고 가정합니다 . 그러면 평균값은 입니다. 놀랍고 완전히 믿을 수없는 우연의 일치로 합은 정확히 와 같다고 가정합니다 . 따라서 우리는 의 가장 큰 값 중 이상 까지 몇 개의 합계 를 추정하고 싶습니다 . 이제 샘플 의 히스토그램 ( $X_i$ $[0,1]$ $\sum_i X_i$ $N/2$ $N/2$ $X$ $N/4$ $N$ $N$ 매우 큰) 균일 분포 분포에서 추출 은 에서 까지 대략 평평 하고, 따라서 , , 샘플이 에서 사이에 대략 균일하게 분포 됩니다 . 이 표본들은 평균값 이고 합은 $U[0,1]$ $0$ $1$ $x$ $0 < x < 1$ $(1-x)N$ $x$ $1$ $(1+x)/2$ 입니다. 의 합이 를초과 $(1-x)N(1+x)/2) = (1-x^2)N/2$ $N/4$ . 따라서 의 합 $x \leq 1/\sqrt{2}$ 가장 큰 샘플은초과 합니다. $(1-1/\sqrt{2})N \approx 0.3N$ $N/4$

이것을 시도하고 일반화 할 수 있습니다. 경우 다음 주어진 대한 , 우리가 원하는 같은 것으로 그 평균이 정상 이고 분산이 . 따라서 값으로 조절 하면 $\sum_i X_i = Y$ $Y$ $x$ $(1-x^2)N/2 = Y/2$ $Y$ $N/2$ $N/12$ $Y$ . 의 밀도를 곱하고통합하여 (에서) 랜덤 합의 절반을 초과하는 가장 큰 샘플의 평균 수를 찾습니다. $x = \sqrt{1-(Y/N)}$ $Y$ $Y=0$ $Y=N$

— 디립 사르 베이트
소스

간격

제한되는 두 점 사이의 거리는 거리 가

보다 작아야하기 때문에 지수 랜덤 변수는

값을 갖기 때문에 지수 적으로 분포 될 수 없습니다 . 어떤 것은 참일 경우이다

독립 지수 확률 변수하고있는 에어컨 에

의 차 통계량

(0, 1)

$(0,1)$

1

$1$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n + 1}

$Y_1, Y_2, \ldots, Y_{n+1}$

Y_{max} = α

$Y_{\max} = \alpha$

은

로 균일하게 분포됩니다. 예를 들어,동반자 사이트 math.SE에서이 질문과 답변을참조하십시오. (계속)

Y_{(1)}, Y_{(2)}, \dots, Y_{(n)}

$Y_{(1)}, Y_{(2)}, \ldots, Y_{(n)}$

(0, α)

$(0, \alpha)$

— Dilip Sarwate

어쨌든, 나의 주장은 균일 한 분포에서 정렬 된 표본 사이의 거리 를 사용하지 않습니다 .

— Dilip Sarwate

네 말이 맞아, 난 널 오해 했어 부수적 인 질문으로, 스케일링 후 지수 랜덤 분포 점 사이의 조각이 아닌가? [Wolfram Demonstrations Project의 고장난 스틱 규칙] ( demos.wolfram.com/BrokenStickRule ) 기하 급수적으로 보인다. 증명.

— 데니스

부수적 인 질문은 별도의 질문으로하십시오.

— Dilip Sarwate

시작한 다음 조각 길이의 확률 분포 를 보았습니다 .

— 데니스

X가 절대 값을 제거하기 위해 양수 값을 가지고 있다고 가정 해 봅시다.

정확한 증명이 없으면 k를 풀어야한다고 생각합니다.

F는 X의 누적 분포 함수와 되 $(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)= \frac{1}{2} E(X)$

그런 다음 최고 값 을 취하여 답을 얻습니다 . $n(1-F_X(k))$

내 논리는 비대칭 적으로 k보다 높은 모든 값의 합은

$n(1-F_{X}(k))E(X|X>=k)$

그리고 비합리적으로 총합의 절반이

. $\frac{1}{2}nE(X)$

수치 시뮬레이션은 결과가 균일 한 경우 ( 균일 함 ) 이고 경우를 나타냅니다. $[0,1]$ $F(k)=k$ . 결과가 항상 유지되는지 또는 더 단순화 될 수 있는지 확실하지 않지만 실제로 분포 함수 F에 달려 있다고 생각합니다. $k=\sqrt(\frac{1}{2})$

— 에릭
소스