비 iid 가우스 변형의 합의 분포는 무엇입니까?

경우 분포 , 분포 및 , I는 알고 분포 X와 Y가 독립적 인 경우 . $X$ $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y$ $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y$ $Z$ $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

그러나 X와 Y가 독립적이지 않은 경우, 즉 $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

이것이 합 가 분포되는 방식에 영향을 줍 니까? $Z$

normal-distribution mathematical-statistics

— JCWong
소스

단지에 대한 공동 배포판의 모든 종류의가 있음을 지적하고 싶습니다 기타 여전히 가지고 이변 량 정상보다 와 소폭 정상은. 그리고이 구별은 답변에 큰 차이를 만들 것입니다.

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns 나는 와 가 정상이지만 반드시 함께 정상일 필요는 없다면 는 정규 이외의 분포를 가질 수 있다는 데 동의합니다 . 그러나 OP의 진술에 따르면, " 와 가 독립적 인 경우 는 됩니다 ." 절대적으로 맞습니다. 경우 와 (문장의 두 번째 부분에서 가정 당) 소폭 (문장의 첫 부분 말한대로) 정상적이고 독립적 인, 그들은 또한 공동으로 정상입니다. 영업의에서 질문 , 공동 정상 명시하고 있으므로 가정 임의 의 선형 결합

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$ 와 는 정상입니다.

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@Dilip, 질문에 아무런 문제가 없으며 귀하의 답변 (+1) (또는 확률, (+1))에 아무런 문제가 없음을 분명히하십시오. 나는 와 가 의존적이라면 공동으로 정상일 필요는 없으며 OP가 그 가능성을 고려한 것이 확실하지 않다고 지적했다. 또한, (공통 정상과 같은) 다른 가정이 없으면 질문에 대답 할 수 없을 수도 있습니다 (많은 시간을 생각하지는 않았지만).

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns가 언급했듯이, 우리는 분산 된 법선을 조금만 고려하지만 공동으로 분포하지 않은 법칙을 고려하면 모든 종류의 흥미로운 행동을 얻을 수 있습니다. 다음은 간단한 예이다하자 통상 표준 될 독립적 확률 1/2 각각 . 이라고하자 . 그런 다음 도 표준 정규이지만 는 확률 1/2에서 정확히 0과 같고 확률 1/2에서 와 같습니다 .

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

— 추기경

Sklar의 정리 를 통해 와 관련된 이변 량 copula를 고려하여 다양한 행동을 얻을 수 있습니다 . 우리가 가우스 copula를 사용하면, 우리는 가 합동 정규이므로 는 정규 분포입니다. copula가 Gaussian copula가 아닌 경우 와 는 여전히 각각 법선으로 거의 분포되지 않지만 공동으로 정규화되지 않으므로 합은 일반적으로 정상적으로 분포되지 않습니다.

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

— 추기경

답변:

이 질문 에 대한 chanceislogic의 답변에 대한 나의 의견을보십시오 . 여기서 여기서 는 와 의 공분산 입니다 . 아무도 공분산 행렬에 대각선 의 항목을 로 않습니다. 비 대각선 항목은 공분산이며 음수 일 수 있습니다.

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$

— 디립 사르 베이트
소스

@Kodiologist 감사합니다! 오타가 4 년 이상 눈에 띄지 않은 채 놀랐습니다.

— Dilip Sarwate

@ dilip의 대답은 충분하지만 결과에 도달하는 방법에 대한 세부 정보를 추가한다고 생각했습니다. 특징적인 기능의 방법을 사용할 수 있습니다. 어떤 옵션 차원의 다변량 정규 분포 여기서 및 , 특성 함수는 다음과 같이 제공됩니다. $d$ $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

1 차원 정규 변수 을 얻습니다. $Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

이제 새로운 랜덤 변수 정의한다고 가정하겠습니다 . 귀하의 경우 및 입니다. 의 특성 함수 는 기본적으로 의 기능과 같습니다 . $Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ $d=2$ $a_1=a_2=1$ $Z$ $X$

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

이 특성 함수를 특성 함수 와 비교하면 그것들이 동일하지만 가 되고 가 . 따라서 의 특성 함수는 의 특성 함수와 동일하므로 분포도 같아야합니다. 따라서 는 정규 분포입니다. 에 주목하면 분산 표현을 단순화 할 수 있습니다. $\varphi_Y(t)$ $\mu_Y$ $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ $\sigma_Y^2$ $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ $Z$ $Y$ $Z$ $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

이것은 또한 임의의 랜덤 변수 세트의 독립 조합이든 정상이든 임의의 변수 세트의 선형 조합의 분산에 대한 일반 공식입니다. 여기서 및 . 이제 및 전문화 하면 위 공식은 다음과 같습니다. $\Sigma_{jj}=var(X_j)$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ $d=2$ $a_1=a_2=1$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

— 확률 론적
소스

+1 세부 정보를 작성해 주셔서 감사합니다. 이 질문을 FAQ에 포함시킬 수 있습니까?

— Dilip Sarwate