치수가 증가함에 따라 정규 분포의 밀도

내가 묻고 싶은 질문은 이것입니다 : 정규 분포 평균의 1 SD 내의 샘플 비율은 변이 수가 증가함에 따라 어떻게 변합니까?

(거의) 모든 사람들은 1 차원 정규 분포에서 표본의 68 %가 평균의 1 표준 편차 내에서 발견 될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 2, 3, 4, ... 치수는 어떻습니까? 나는 그것이 점점 줄어드는 것을 알고 있지만 얼마나 정확하게 (정확하게)? 1, 2, 3 ... 10 치수와 1, 2, 3 ... 10 SD에 대한 수치를 보여주는 표가 있으면 편리합니다. 누구든지 그런 테이블을 가리킬 수 있습니까?

좀 더 컨텍스트-최대 128 채널의 데이터를 제공하는 센서가 있습니다. 각 채널에는 (독립적 인) 전기 노이즈가 발생합니다. 교정 물체를 감지하면 충분한 수의 측정을 평균하고 128 개의 개별 표준 편차와 함께 128 개 채널에서 평균값을 얻을 수 있습니다.

그러나 ... 개별 순간 판독에 관해서는, 데이터는 (최대) 128-dimensonal 벡터 양의 단일 판독과 마찬가지로 128 개별 판독과 같이 반응하지 않습니다. 확실히 이것은 우리가 취하는 몇 가지 중요한 측정 값을 처리하는 가장 좋은 방법입니다 (일반적으로 128의 4-6).

이 벡터 공간에서 "정상적인"변이와 "외부"에 대해 느끼고 싶습니다. 나는 이런 종류의 상황에 적용 할 수있는 테이블과 같은 테이블을 보았을 것입니다. 누가 하나를 가리킬 수 있습니까?

normal-distribution multivariate-analysis

— 오마 타이
소스

제발-경험적 답변 만 할 수 있습니까-나는 대부분의 수학적 표기법을 이해하지 못합니다.

— omatai

걸릴 수 있습니다 각 정상 와 독립적입니다 - 당신이 더 높은 차원으로 무엇을 의미하는지 그의를 생각한다. $X = (X_1,\dots,X_d) \sim N(0,I)$ $X_i$ $N(0,1)$ $X_i$

당신은 가 (X와 평균값 사이의 거리가 1보다 작습니다). 이제 확률 에서 발생합니다. 여기서 . 좋은 치 사각 테이블에서 이것을 찾을 수 있습니다 ... $X$ $||X|| < 1$ $||X||^2 = X_1^2 +\cdots+X_d^2\sim \chi^2(d)$ $P( \xi < 1 )$ $\xi\sim\chi^2(d)$

다음은 몇 가지 값입니다.

\begin{array}{ll} 디 & 피 (ξ < 1) \\ 1 & 0.68 \\ 2 & 0.39 \\ 삼 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018 \\ 9 & 0.00056 \\ 10 & 0.00017 \end{array}

$\begin{array}{ll} d& P(\xi < 1)\\ 1 & 0.68\\ 2 & 0.39 \\ 3 & 0.20 \\ 4 & 0.090 \\ 5 & 0.037 \\ 6 & 0.014 \\ 7 & 0.0052 \\ 8 & 0.0018\\ 9 & 0.00056\\ 10& 0.00017\\ \end{array}$

그리고 2 sd의 경우 :

\begin{array}{ll} 디 & 피 (ξ < 4) \\ 1 & 0.95 \\ 2 & 0.86 \\ 삼 & 0.74 \\ 4 & 0.59 \\ 5 & 0.45 \\ 6 & 0.32 \\ 7 & 0.22 \\ 8 & 0.14 \\ 9 & 0.089 \\ 10 & 0.053 \end{array}

$\begin{array}{ll} d & P(\xi < 4)\\ 1 & 0.95\\ 2 & 0.86\\ 3 & 0.74\\ 4 & 0.59\\ 5 & 0.45\\ 6 & 0.32\\ 7 & 0.22\\ 8 & 0.14\\ 9 & 0.089\\ 10 & 0.053\\ \end{array}$

R pchisq(1,df=1:10)에서 pchisq(4,df=1:10), 등의 쉼표를 사용하여 이러한 값을 얻을 수 있습니다 .

Post Scriptum 추기경이 주석에서 지적했듯이 이러한 확률의 점근 적 행동을 추정 할 수 있습니다. 변수 의 CDF 는 여기서 는 불완전한 -function 이며 고전적인 . $\chi^2(d)$

{에프}_{디} (엑스) = 피 (디 / 2, 엑스 / 2) = \frac{γ (디 / 2, 엑스 / 2)}{Γ (디 / 2)}

$F_d(x) = P(d/2,x/2) = {\gamma(d/2, x/2) \over \Gamma(d/2)}$

γ (s, y) = \int_{0}^{y} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\gamma(s,y) = \int_0^y t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

γ

$\gamma$

Γ (s) = \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} e^{- t} d t

$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} \mathrm d t$

경우 부를 프로그램함으로써 정수 반복 통합은 그 의 꼬리 푸 아송 분포의 CDF. $s$

P (s, y) = e^{- y} \sum_{k = s}^{\infty} \frac{y^{k}}{k!},

$P(s,y) = e^{-y} \sum_{k=s}^\infty {y^k \over k!},$

이제이 합계는 첫 번째 용어 (주제 덕분에)에 의해 지배됩니다. for big . 가 짝수 때 이것을 적용 할 수 있습니다 : 큰 경우 스털링 공식을 사용한 두 번째 동등성 인 조차도 . 이 공식에서 우리는 점근선 붕괴가 증가함에 따라 매우 빠르다는 것을 알 수 있습니다. $P(s,y) \sim {y^s \over s!} e^{-y}$ $s$ $d$

P (ξ < x) = P (d / 2, x / 2) \sim \frac{1}{(d / 2)!} {(\frac{x}{2})}^{d / 2} e^{- x / 2} \sim \frac{1}{\sqrt{π d}} e^{\frac{1}{2} (d - x)} {(\frac{x}{d})}^{\frac{d}{2}} \sim \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- \frac{1}{2} x} d^{- \frac{1}{2} d},

$P(\xi < x) = P(d/2,x/2) \sim {1 \over (d/2)!} \left({x\over 2}\right)^{d/2} e^{-x/2} \sim {1\over\sqrt{\pi d}}e^{{1\over 2}(d-x)} \left({x\over d}\right)^{d\over 2} \sim {1\over\sqrt\pi} e^{-{1\over 2}x} d^{-{1\over 2}d},$

d

$d$

d

$d$

— 엘비스
소스

Elvis 사이트에 오신 것을 환영합니다! 좋은 대답입니다. (+1)

— 우버

(+1) 정답입니다. 고려할 몇 가지 제안은 다음과 같습니다. ( 1 ) 명확성을 위해 가 무엇인지 명시 적으로 만드는 데 도움이 될 수 있습니다 . ( 2 ) "하나의 표준 편차"의 의미에 대해 선택한 선택에 대한 직관적 인 주장을 간단히 제시하십시오. 이러한 맥락에서 그리고 그것이 왜 처음부터 잘 정의되어 있는지, 그리고 ( 3 ) 의 함수로서이 양의 성장에 관한 진술을 추가하십시오 . (영업은 "경험적"답변을 요청하지만, 다른 독자는 작은 수학 부록을 주셔서 감사합니다 수 있습니다.)

ξ

$\xi$

d

$d$

— 추기경

귀하의 의견에 감사드립니다. 나는이 대답이 많은 주목을받을 것이라고 생각하지 않았다! 이것은 차원 의 저주의 좋은 형태라는 것이 사실입니다 ... @ cardinal about (3) 첫 번째 매개 변수가 무한대로 될 때 불완전한 감마 함수와 동일한 점을 알지 못합니다. 두 번째 매개 변수는 고정되어 있습니다. 쉽지 않다! 거친 전공이 가능할 수 있습니다.

— Elvis

(대해서는 3 계산을 방지하는) 다음 인자를 사용할 수있다 :하자는 심지어 그러한 것일 . 참고 이다 랜덤 변수. 따라서 입니다. 그러나 는 Poisson 프로세스 의 번째 갱신이 1/2의 비율로 완료 될 때까지의 시간 입니다. 따라서. 푸 아송의 꼬리는 주요 용어에 의해 좌우되므로 를 (다시 :

d

$d$

d = 2 k

$d = 2 k$

Z_{i} = X_{2 i - 1}^{2} + X_{2 i}^{2}

$Z_i = X_{2i-1}^2 + X_{2i}^2$

E x p (1 / 2)

$\mathrm{Exp}(1/2)$

‖ X ‖^{2} = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}

$\|X\|^2 = \sum_{i=1}^k Z_i$

‖ X ‖^{2}

$\|X\|^2$

k

$k$

P (‖ X ‖^{2} < 1) = P (N_{1 / 2} (0, 1) \geq k) = e^{- 1 / 2} \sum_{x = k}^{\infty} 2^{- x} / x!

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) = \mathbb P( N_{1/2}(0,1) \geq k) = e^{-1/2} \sum_{x=k}^\infty 2^{-x}/x!$

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1)

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1)$

d \to \infty

$d\to\infty$

k = d / 2

$k = d/2$ ).

— 추기경

앞에서 언급 한 의견 중 일부는 모든 짝수 대한 정확한 답을 얻는다는 것입니다 . 또한 스털링의 근사법을 사용하면 .

d

$d$

P (‖ X ‖^{2} < 1) \sim e^{- 1 / 2} 2^{- k} / Γ (k + 1) \sim e^{(d - 1) / 2} d^{- (d + 1) / 2} / \sqrt{π}

$\mathbb P(\|X\|^2 < 1 ) \sim e^{-1/2} 2^{-k} / \Gamma(k+1) \sim e^{(d-1)/2} d^{-(d+1)/2} / \sqrt{\pi}$

— 추기경