변수 내에서 분산과 쌍별 거리 사이의 링크

우리는 두 변수 (동일 샘플 크기)이 있으면 증명주십시오 및 및 분산 에서 보다 큰 후, 제곱 된 차이의 합 내의 데이터 포인트 사이의 (유클리드 거리 제곱 IE) 또한보다 큰 내에서 . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
소스

명확히하십시오 : 당신이 분산 을 말할 때 , 표본 분산 을 의미 합니까? 제곱 차이의 합 을 말할 때 당신 은

합니까?

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— 추기경

전술 한 경우 :

주의 십자가 용어의 요소를 차지하여. 나는 당신이 (작은 간격)을 채울 수 있다고 생각합니다. 결과는 사소하게 따릅니다.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— 추기경

과

가

(정의 된 분산) 에서 iid 이면

라는 사실을 고려하여 계산없이 "이없이"수행 할 수있는 방법도 있습니다.

. 그러나 확률 개념에 대해 약간 더 확고한 이해가 필요합니다.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— 추기경

관련 질문에 대해, 나는 stats.stackexchange.com/a/18200 의 답장에서 여기에서 일어나는 일의 시각화를 사용했습니다 : 제곱 차이는 제곱의 영역입니다.

— whuber

@ whuber : 아주 좋아요. 어떻게 든 나는 당신의 대답을 놓쳤다.

— 추기경

"공식적인"답변을 제공하기 위해 의견에 스케치 된 솔루션을 보완하기 위해

$\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ are changed by shifting all $X_i$ uniformly to $X_i-\mu$ for some constant $\mu$ or shifting all $Y_i$ to $Y_i-\nu$ for some constant $\nu$ . Thus we may assume such shifts have been performed to make $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ , whence $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ and $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$ .
After clearing common factors from each side and using (1), the question asks to show that $\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ implies $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ with a similar result for the $Y$ 's.

The proof is immediate.

— whuber
소스