CLT에서 왜

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하자 은 일 때 평균 및 분산 인 분포에서 독립적으로 관측됩니다. $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{엔} \frac{{\bar{엑스}}_{엔} - μ}{σ} \to 엔 (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

이것이 왜

{\bar{엑스}}_{엔} \sim 엔 (μ, \frac{σ^{2}}{엔}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— 마 바빌
소스

아마도 이것은 아래에서 충분히 강조되지 않았지만

은 수학적으로 의미가 있고 참인 반면

\sqrt{엔} \frac{{\bar{엑스}}_{엔} - μ}{σ} \to 엔 (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

속담으로, 따라서 수학적 터무니도 잘못하지.

{\bar{엑스}}_{엔} \sim 엔 (μ, \frac{σ^{2}}{엔})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— 나요

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해석이 약간 잘못되었습니다. 중앙 한계 정리 (CLT)는

{\bar{엑스}}_{엔} \overset{약}{\sim} 엔 (μ, \frac{σ^{2}}{엔}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

CLT는 점근 적 결과이기 때문에 실제로 유한 샘플 만 처리하고 있기 때문입니다. 그러나 표본 크기가 충분히 크면 CLT 결과가 근사치에 부합한다고 가정하므로

\begin{aligned} \sqrt{엔} \frac{{\bar{엑스}}_{엔} - μ}{σ} & \overset{약}{\sim} 엔 (0, 1) \\ \sqrt{엔} \frac{{\bar{엑스}}_{엔} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{엔}} & \overset{약}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{엔}} 엔 (0, 1) \\ {\bar{엑스}}_{엔} - μ & \overset{약}{\sim} 엔 (0, \frac{σ^{2}}{엔}) \\ {\bar{엑스}}_{엔} - μ + μ & \overset{약}{\sim} μ + 엔 (0, \frac{σ^{2}}{엔}) \\ {\bar{엑스}}_{엔} & \overset{약}{\sim} 엔 (μ, \frac{σ^{2}}{엔}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

이는 임의 변수 및 상수 , (두 번째 단계에서 사용됨) 및 , (두 번째 마지막 단계에서 사용됨). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

대수에 대한 자세한 설명은 이것을 읽으십시오 .

— 그린 파커
소스

당신의 LHS에서 조건을 촬영할 때 사용하고있는 "대수"를 명확히 할 수

우변에?

\sim

$\sim$

— mavavilj 2016 년

대수를 명확하게했습니다. 그것의 대부분은 분산과 기대의 속성을 사용하고 있습니다.

— Greenparker

왜 예를 들어

의 두 번째 항

가

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj 2016 년

3

때문에

. 직관적으로, 임의의 변수에 상수를 추가해도 분산이 변경되지 않습니다.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

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이것을 보는 가장 쉬운 방법은 랜덤 변수 의 평균과 분산을 살펴 보는 것 입니다. $\bar X_n$

$\mathcal{N}(0,1)$

이자형 [\sqrt{엔} \frac{{\bar{엑스}}_{엔} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

$\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

$\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— 악사 칼
소스

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$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} {미디엄}_{τ 지 + μ} (티) & = {미디엄}_{지} (τ 티) {미디엄}_{μ} (티) \\ = {이자형}^{티^{2} τ^{2} / 2} {이자형}^{티 μ} \\ = {이자형}^{티^{2} τ^{2} / 2 + 티 μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
소스

모멘트 생성 기능이 분포에 대해 왜이를 증명합니까?

— mavavilj 2016 년

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이것은 확률의 결과입니다. 두 랜덤 변수의 모멘트 생성 기능이 동일하면 분포가 동일합니다.

— dsaxton