또 다른 중심 제한 정리 문제

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하자 독립적 베르누이 랜덤 변수들의 시퀀스 일 집합 보여 표준 정규 분포 변수로 수렴 등이 무한대. $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

내 시도는 그러므로 우리가 존재 보여줄 필요가, 아프 노프 CLT를 사용하는 것입니다 등, 그 $\delta>0$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

따라서 $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ 및

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

컴퓨터에서 큰 n을 평가하여 $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ 와 $B_n^3 \to \infty$ 같은 $n \to \infty$ . 그러나 $B_n^3$ 은 보다 빠르게 증가 $B_n^2$ 하므로 $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ 입니다. 이 수렴이 확실하다는 것을 증명할 수 있습니까?

probability convergence central-limit-theorem

— 티파니 버터 플라이
소스

7

이것은 Patrick Billingsley 의 확률과 측정 의 예 27.3입니다 .

— Zhanxiong

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누적 생성 함수의 속성을 활용하여 (중앙 한계 정리의 표준 증거에서와 같이) 첫 번째 원칙과 기본 결과에서이 결과를 설명하는 것이 도움이 될 수 있습니다 . 대한 일반화 된 고조파 숫자 의 성장 속도를 이해해야합니다 이러한 성장률은 적분과 비교하여 잘 알려져 있으며 쉽게 얻을 수 있습니다 . 이들은 수렴 하고 그렇지 않으면 대수적으로 분기 합니다.

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

및 보자 . 정의상, 의 누적 생성 함수 (cgf) 는 $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

주위 의 확장으로 얻은 오른쪽의 계열 확장은 다음 과 같은 형식을 취합니다. $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

분수의 분자는 과 함께 다항식입니다 . 로그 확장은 이면이 확장은 절대적으로 수렴합니다. $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

( 인 경우, 모든 곳에서 수렴합니다.) 고정 된 및 증가하는 값의 , 의 (분명한) 발산 은 절대 수렴 영역이 임의로 커짐을 의미합니다. 따라서, 임의의 고정 된 및 충분히 큰 ,이 팽창은 절대적으로 수렴한다. $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

충분히 큰 들어 , 그 후, 우리는 따라서 각각의 합계 수 위에 의 힘에 의해 용어 용어 의 CGF 수득 , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

한 번에 이상의 합계로 항을 취하려면 다음 식에 비례하는 식을 평가해야합니다. $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

용 과 . 서론에 언급 된 일반화 된 고조파 수의 점근선을 사용하면 $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

그

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

및 ( ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

같은 큰 성장한다. 결과적으로 넘어 의 확장에있는 모든 항은 0으로 수렴하고, 는 값에 대해 로 수렴합니다 . CGF에서의 수렴 특성 함수의 융합을 의미하기 때문에, 우리는 결론에서 레비 연속성 정리 것을 그 CGF 인 랜덤 변수 접근 , 표준 정규 변수 : QED를 . $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

이 분석은 수렴이 얼마나 섬세한지를 밝혀냅니다 . 중앙 한계 정리의 여러 버전에서 의 계수 는 ( )이며 여기서 계수는 오직 : 수렴이 훨씬 느리다 이런 의미에서 표준화 된 변수의 시퀀스는 "거의"거의 정상이됩니다. $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

일련의 시뮬레이션에서이 느린 수렴을 볼 수 있습니다. 히스토그램 은 4 개의 값에 대해 독립적 반복을 표시 합니다. 빨간색 곡선은 시각적 참조를위한 표준 정규 밀도 함수의 그래프입니다. 분명히 정규성에 대한 점진적인 경향이 있지만, (여기서 은 여전히 상당한 크기 임)에도 비대칭 성이 있습니다. ( 이 샘플에서는 와 동일 ). (이 히스토그램의 왜도가 에 가깝다는 것은 놀라운 일이 아닙니다. cgf에서 항이 정확히 그렇기 때문입니다.) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

다음은 R추가 실험을 원하는 사람들을위한 코드입니다.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— 우버
소스

6

이미 좋은 대답이 있습니다. 자신의 증명도 작성하려면 다음과 같이 논쟁 할 수 있습니다.

이후 모두 수렴 및 대한 발산 ( 여기 ), 우리는 기록 할 수있다 $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

같은 주장으로

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

결과적으로 이므로 $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

우리가 보여주고 싶었던 것입니다.

— ekvall
소스

2

분포가 의존하는 경우 임의 변수는 동일하게 분포되지 않습니다 .) $k$

또한 나는 당신의 표기법을 다음과 같이 사용하지 않을 것입니다 : $B_n$

대문자는 일반적으로 임의의 변수를 위해 예약되어 있습니다.
이것은 분산의 합일 뿐이므로 기호 와 관련된 표기법을 사용하여 이를 분명히합니다. $\sigma$

그런 다음 질문이 운동인지 연구인지, 어떤 도구를 사용할 수 있는지 모르겠습니다. 알려진 이론을 다시 증명하지 않으려는 경우 독립 비 식별 분포이지만 균일하게 제한되는 RV에 대한 중심 한계 정리라고 말하고 하루에 전화하십시오. 나는 좋은 소스가 없지만 /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem-을 보면 소스를 찾기가 너무 어렵지 않아야합니다. 비 한정적으로 분산 된 랜덤 .

편집 : 내 나쁜, 물론 균일 한 경계 조건이 충분하지 않습니다.

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— 아드리 엔
소스