등방성 (구면) 공분산 행렬이란 무엇입니까?

등방성 공분산 행렬이 무엇인지 간단한 용어로 누군가 설명해 줄 수 있습니까? 온라인에서 아무것도 찾을 수 없습니다.

terminology covariance-matrix definition

— 테스트
소스

공분산 행렬 라고 등방성 또는 구형 는 행렬에 비례하는 경우 : 즉 그 대각선 대각선의 모든 요소가 동일한이. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

이 정의는 좌표계에 의존하지 않습니다. 직교 회전 행렬 좌표계를 회전 하면 공분산 행렬은 즉 동일하게 유지됩니다. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

직관적으로 등방성 공분산 행렬은 "구형"데이터 클라우드에 해당합니다. 구는 회전 후에도 구로 유지됩니다.

— 아메바
소스

변수를 회전하여 공분산 행렬 에 도달하면 어떻게됩니까?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal 업데이트를 참조하십시오.

— amoeba

+1. 그러나 흥미롭게 도 공분산 행렬에서와 같이 실제 벡터 공간의 2 차 형태를 나타 내기 때문에 완전히 다른 "등방성"정의 가 에도 적용됩니다 . 그러나이 다른 의미에서 유일한 등방성 공분산 행렬은 영 행렬입니다!

C

$C$

— whuber

@whuber 재미있는! 나는 "등방성"2 차 형태라는 개념이 있다는 것을 기억하지 못했습니다. 그러나 지금 정의를 읽는다면, 적어도 하나의 제로 고유 값을 갖는 공분산 행렬은 그런 의미에서 "등방성"이 아닐까요?

— amoeba

당신 말이 맞아요. 수량자를 잘못 지정했습니다. 정의에 의해, 등방성 2 차 형태는 ( 모든 벡터가 등방성 인 것이 아니라) 적어도 하나의 0이 아닌 등방성 벡터를 갖는다 .

— whuber

공분산은 의 함수일뿐입니다. . 거기 에서 정의를 찾을 수 있습니다 . $|x - x'|$

편집 : 행렬을 오해하여 죄송합니다. 정답은 amoeba의 것입니다.

— 마이크
소스

질문은 공분산 행렬 에 대해 묻습니다 . 물론 행렬은 함수로 볼 수 있지만 OP에 대한 정교한 설명이 필요합니다.

— amoeba