두 개의 Formula 1 적격 형식의 통계 변동

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방금 Formula 1의 적격 형식에 대한 BBC 기사를 읽었습니다 .

주최자는 자격을 덜 예측하기 쉽게, 즉 결과의 통계적 변동을 증가시키기를 원합니다. 몇 가지 부적합한 세부 사항에 대해 광택을내는 순간, 운전자는 두 번의 시도 (구체적으로)에서 최고의 단일 랩으로 순위가 매겨집니다.

Jean Todt의 F1 최고 책임자는 운전자가 실수를 할 가능성이 두 배일 수 있기 때문에 평균 두 바퀴로 드라이버 순위를 매기는 것이 통계적 변동을 증가시킬 것이라고 제안했다. 다른 출처들은 평균화가 통계적 변동을 확실히 감소시킬 것이라고 주장했다.

합리적인 가정하에 누가 옳은지 말할 수 있습니까? 나는 그것이 $\text{mean}(x,y)$ 대 의 상대 분산으로 요약한다고 가정합니다 $\text{min}(x,y)$ . 여기서 $x$ 와 $y$ 는 드라이버의 두 랩 타임을 나타내는 임의의 변수입니까?

variance

— 이니스프리
소스

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랩 타임의 분포에 달려 있다고 생각합니다.

하자 $X,Y$ 독립적으로 동일하게 분산.

만약 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ , $Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
그러나 이면 $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

이것은 실수를 저지르는 것에 대한 질문에서 언급 한 주장과 일치합니다 (즉, 작은 확률로 예외적으로 장시간 실행). 따라서 결정하기 위해 랩 타임의 분포를 알아야합니다.

— Sandris
소스

흥미롭게도, 이와 같은 것이 연속 RV에서도 작동한다고 생각합니다. 이전 증거에서 정확히 무엇이 잘못 되었습니까?

— innisfree

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한국인 이해로, 그것은 주어진 주장

사이의 거리

과 평균 사이의 거리보다 항상 적은되는

및

, 따라서 평균의 편차의 차이보다 작아야

. 그러나 이것은 따르지 않습니다 :

x \geq y

$x\geq y$

x

$x$

x

$x$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$ 평균이 많이 변하는 동안 일관되게 멀리 떨어져있을 수 있습니다. 증명이 실제 계산을 기반으로 한 경우, 잘못된 지점을 정확하게 찾아내는 것이 더 쉬울 것입니다 (또는 결국 유효한지 확인하십시오).

— sandris

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일반성을 잃지 않으면 서 라고 가정 하고 두 변수가 특정 평균과 분산을 갖는 동일한 분포에서 도출 된다고 가정 합니다. $y \leq x$

는 에서 다음과 같이향상됩니다. $\{y,x\}$ $\{x\}$

사례 1, 평균 : , $\frac{y-x}{2}$

사례 2, 최소 : . $y-x$

따라서 평균은 최소값을 사용하는 것 (2 회 시행)보다 개선 (분산에 의해 결정됨)에 절반의 영향을 미칩니다. 즉, 평균은 변동성을 약화시킵니다.

— 제임스
소스

이것이 정확하다고 확신하지 않습니다. 공식적인 설명을 제공해 주시겠습니까?

— sandris

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여기 Var [Mean]의 증거가 있습니다.

2 개의 랜덤 변수 x, y의 경우 평균과 최대 및 최소 사이에 관계가 있습니다.

따라서

2 미디엄 이자형 ㅏ 엔 (엑스, 와이) = 미디엄 나는 엔 (엑스, 와이) + 미디엄 ㅏ 엑스 (엑스, 와이)

$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$

이제 분포가 평균 주변에서 대칭이라고 가정하면

그런 다음

4 V ㅏ 아르 자형 [미디엄 이자형 ㅏ 엔] = V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔] + V ㅏ 아르 자형 [미디엄 ㅏ 엑스] + 2 씨 영형 V [미디엄 나는 엔, 미디엄 ㅏ 엑스]

$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$

V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔 (엑스, 와이)] = V ㅏ 아르 자형 [미디엄 ㅏ 엑스 (엑스, 와이)]

$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$

및

따라서

4 V ㅏ 아르 자형 [미디엄 이자형 ㅏ 엔] = 2 V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔] + 2 씨 영형 V [미디엄 나는 엔, 미디엄 ㅏ 엑스]

$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$

씨 영형 V [미디엄 나는 엔, 미디엄 ㅏ 엑스] <= 에스 큐 아르 자형 티 (V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔] V ㅏ 아르 자형 [미디엄 ㅏ 엑스]) = V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔]

$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$

V ㅏ 아르 자형 [미디엄 이자형 ㅏ 엔] <= V ㅏ 아르 자형 [미디엄 나는 엔]

$Var[Mean]<=Var[Min]$

— sega_sai
소스

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좋은 질문입니다, 감사합니다! 나는 랩 타임의 분포가 중요하다는 @sandris에 동의하지만 , 질문의 인과 적 측면을 다루어야 함 을 강조하고 싶습니다 . F1은 매년 같은 팀이나 드라이버가 매년 스포츠를 지배하는 지루한 상황을 피하고 싶어하며, 특히 새로운 운전자가 '뜨거운'새로운 가능성을 제시 할 수있는 (수익 창출!) 흥분을 소개하고자합니다. 갑자기 스포츠에서 발생합니다.

즉, 팀 / 드라이버의 과도하게 안정적인 순위를 방해 할 수 있다는 희망이 있습니다. (비유를 고려하십시오. 승온 에서 시뮬레이션 어닐링 .) 문제는 다음되고, 어떤 있습니다 인과 요인 직장에서, 그리고 어떻게 그렇게 현재 재직자에 대한 지속적인 우위를 창출하기로 드라이버 / 팀의 인구 분산됩니다. (사회의 '경기장 수준을 높이기 위해 높은 상속세를 부과하는 것과 유사한 질문을 고려하십시오.)

기존 팀이 평균 랩 타임을 희생하면서 랩 타임의 낮은 분산을 강조하는 운전자 경험에 크게 의존하는 보수적 전략으로 현직을 유지한다고 가정하십시오. 젊은 드라이버가있는 신생 팀과는 달리, 더 큰 분산으로보다 공격적인 (위험이 높은) 전략을 채택해야하지만, 때로는 '적절하게 맞고'달성하는 멋진 운전이 필요하다고 가정합니다. 놀라운 랩 타임. 안전 문제를 피하면서 F1은 경쟁에서 그러한 '언더 독'을 분명히보고자합니다. 이 인과 관계 시나리오에서는 최고 n- 랩 정책 (대규모)이 $n$

반면에 엔진 고장 은 모든 팀에서 동일한 확률로 제어 할 수없는 사건이며 현재 순위는 다른 여러 요인에 걸쳐 운전자 / 팀 품질의 진척도를 정확하게 반영한다고 가정합니다. 이 경우, 엔진 고장의 불운은 F1이 적어도 '경쟁'의 모습을 파괴하는 무거운 손으로 순위를 조정하지 않고 기회의 평등을 달성하기 위해 활용할 수있는 유일한 '레벨링 팩터'가 될 것이라고 약속합니다. 이 경우 엔진 고장에 크게 불이익을주는 정책 (이 시나리오에서는 기존 기업에 유리하게 작용하지 않는 유일한 요인)이 순위의 불안정성을 촉진 할 것입니다. 이 경우 위에서 언급 한 최고 정책은 추구 하는 잘못된 정책 일 것입니다.

— 데이비드시 노리스
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나는 일반적으로 두 번의 실행의 평균이 분산이 적을 것이라는 다른 답변에 동의하지만 문제의 근본 원인은 생략한다고 생각합니다. 운전자가 규칙과 자격에 대한 전략에 반응하는 방식과 많은 관련이 있습니다.

예를 들어, 한 번의 랩으로 자격을 갖추면 운전자는보다 보수적이며보다 예측 가능하고 더 지루할 것입니다. 두 바퀴가 달린 아이디어는 운전자가 한 사람이 그 "완벽한 랩"을 얻을 수있는 기회를 가지게하고 다른 하나는 보수적 인 달리기를 할 수있게하는 것입니다. 더 많은 달리기는 많은 시간을 소비하며, 이는 지루할 수도 있습니다. 현재 설정은 가장 짧은 시간 내에 가장 많은 작업을 수행하기위한 "스위트 스폿"일 수 있습니다.

또한 평균적인 접근 방식을 사용하면 운전자가 가장 빠른 반복 랩 시간을 찾아야합니다. 최소 접근 방식을 사용하면 운전자는 한 번만 가능한 한 빨리 운전해야하며 평균 접근 방식보다 더 많이 추진해야합니다.

이 토론은 게임 이론에 더 가깝습니다. 당신의 질문은 그 빛에 비춰질 때 더 나은 답변을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 운전자가 두 번째 실행을 위해 첫 번째 랩 타임을 드롭하는 옵션, 더 빠르거나 느린 시간과 같은 다른 기술을 제안 할 수 있습니다. 기타.

또한 올해는 예선 변경을 시도하여 일반적으로 운전자를 하나의 보수적 인 랩으로 밀어 넣었습니다. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying 결과는 재난으로 간주되어 신속하게 취소되었습니다.

— 매든 커
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