관측 수준 Mahalanobis 거리의 분포

다변량 정규 iid 샘플 가 있고 ( 가중치에 대한 행렬 를 사용하여 샘플 포인트에서 벡터 까지의 마할 라 노비스 거리 [제곱]의 일종 ), 의 분포 는 표본 공분산 행렬 사용하여 표본 평균 )? $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

나는 주장이 있음을 종이에서 찾고 :하지만, 이것은 분명히 잘못된 것입니다 분포가 얻어했을 제 (알 수없는) 인구 평균 벡터를 사용하여 공분산 행렬. 샘플 아날로그가 연결되면 Hotelling 분포 또는 스케일 분포 또는 이와 유사한 것을 얻을 수 있지만 . Muirhead (2005) , Anderson (2003) 또는 Mardia, Kent and Bibby (1979, 2003) 에서 정확한 결과를 찾을 수 없었습니다. $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . 분명히 다변량 정규 분포가 완벽하고 다변량 데이터를 수집 할 때마다 쉽게 얻을 수 있기 때문에이 사람들은 이상치 진단에 신경을 쓰지 않았습니다.

그보다 상황이 더 복잡 할 수 있습니다. Hotelling $T^{\ 2}$ 분포 결과는 벡터 부분과 행렬 부분 사이의 독립성을 가정하고; 이러한 독립성은 $\bar X$ 및 $S$ 를 유지하지만 더 이상 $X_i$ 및 유지하지 않습니다 $S$ .

multivariate-analysis outliers

— StasK
소스

의 정의에서

d_{i}^{2}

$d_i^2$ 여전히

X_{i}

$X_i$ 를 임의의 변수로 보거나 이제 고정 벡터로 취급합니까? 아래 첨자를 포함하면 후자를 제안하지만 조금 이상하게 보입니다.

— whuber

커프스 쪽의 약간의 참고 사항이지만

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$ 는

대해 보조적

μ

$\mu$ 이며

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$ 는 고정 상수와 같습니다 (

n - p

$n-p$ 또는 이와 비슷 해야합니다 .) 거의 확실합니다.

— 추기경

@ whuber-아마도 새로운 관찰이 아니라 샘플의 관찰을 사용하여 계산된다는 것을 강조하고 싶습니까?

— jbowman

@whuber, 대략 jbowman의 말을 따라-관찰 수준 통계임을 나타냅니다 (샘플 평균과 같은 샘플 수준 통계와 반대).

— StasK

의 분포는 베타, ,하지만 여전히 의 분포를 찾고 있습니다. 의 분포는 독립적이지 않습니다.

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$

d_{i}^{2}

$d^2_i$

답변:

Mahalanobis 거리를 활용 하여 가우스 혼합 모델링을 확인하십시오 ( 대체 링크 ). 13 페이지 두번째 열을 참조하십시오. 저자는 또한 배포판을 도출하기위한 증거도 제공했습니다. 분포는 베타로 조정됩니다. 이것이 효과가없는 경우 알려주십시오. 그렇지 않으면 내일 SS Wilks 책에서 힌트를 확인할 수 있습니다.

— 비 닉스
소스

신문에 주어진 대답은 :

. 감사!

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

— StasK

3 가지 관련 분포가 있습니다. 언급 한 바와 같이, 실제 모집단 모수가 사용되는 경우 분포는 카이 제곱됩니다 . 이것은 또한 추정 된 모수와 큰 표본 크기를 갖는 점근 분포입니다. $df=p$

\frac{엔 (디^{2})}{(엔 - 1)^{2}} \sim 비 이자형 티 에이 (\frac{피}{2}, \frac{(엔 - 피 - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$

x_{i}

$x_i$

(\frac{엔 디^{2} (엔 - 피)}{(피 (엔 - 1) (엔 + 1)}) \sim 에프 (피, 엔 - 피)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— 조 설리반
소스

@JoeSullivan 사이트에 오신 것을 환영합니다. 나는 을 사용하는 자유를 가져 갔다

L A T E X

$\LaTeX$

F 공식에 대한 참조를 줄 수 있습니까?

— eyaler

하나의 관련 참조, Hardin, Johanna 및 David M. Rocke의 섹션 3. 2005.“견고한 거리의 분포.”전산 및 그래픽 통계 저널 14 (4) : 928–46. doi : 10.1198 / 106186005X77685.

— Josef