통계가 매끄럽다면 부트 스트랩이 유효한 결과가 있습니까?

우리가 가정에 걸쳐 통계 일부 데이터의 함수 인 분포 함수로부터 인출되는 ; 우리의 샘플의 경험적 분포 함수는 . 그래서 임의의 변수로 간주 통계입니다 통계의 부트 스트랩 버전입니다. 우리는 를 KS 거리로 사용합니다 $\theta(\cdot)$ $X_1, \ldots X_n$ $F$ $\hat{F}$ $\theta(F)$ $\theta(\hat{F})$ $d_\infty$

통계가 단순한 선형 통계 인 경우 부트 스트랩의 유효성에 대한 "만약 if"결과가 있습니다. 예를 들어 Mammen의 정리 1 "부트 스트랩은 언제 작동합니까?"

만약 어떤 임의의 함수에 대한다음 점에서 부트 스트랩 작동하는지이 존재하는 경우에만,및되도록을 $\theta(F) = \frac{1}{n} \sum_{i-1}^n h_n(X_i)$ $h_n$
$d_{\infty} [L (θ (\hat{F}) - {\hat{t}}_{n}), L (θ (F) - t_{n})] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(\hat{F})-\hat{t}_n), \mathscr{L}(\theta(F)-t_n)\big] \underset{p}{\rightarrow} 0$ $\sigma_n$ $t_n$ 우리가 정의 할 수 우리의 샘플의 일부 함수 $d_{\infty} [L (θ (F) - t_{n}), N (0, σ_{n}^{2})] \underset{p}{\to} 0$ $d_\infty\big[\mathscr{L}(\theta(F)-t_n), N(0, \sigma_n^2)\big]\underset{p}{\rightarrow} 0$ $\hat{t_n}$ $t_n = \mathbb{E}(\hat{t}_n)$

부트 스트랩이 일반 통계 (예 : Politis Romano and Wolf의 Subsampling의 Theorem 1.6.3)에서 작동하는 일반적인 결과도 있습니다.

유한 한지지를 가진 모든 분포의 클래스에서 가 도출 되었다고 가정합니다 . 통계치 가 최고 표준과 관련하여 에서 분화 가능한 Frechet 이고 미분 가 만족 한다고 가정합니다 . 그런 다음 는 점진적으로 정상이며 부트 스트랩은 이전 정리의 의미에서 작동합니다. $F$ $\theta(\cdot)$ $F$ $g_F$ $0 < \textrm{Var}_F[g_F(x)] < \infty$ $\theta(F)$

나는 두 번째 정리의 '만약 if'버전을 원합니다. Politis, Romano and Wolf (1999)는 표본 중앙값이 Frechet의 미분이 아니라 부트 스트랩이 여전히 작동한다는 것을 보여주기 때문에 Frechet의 미분과 다른 매끄러움의 개념이 필요합니다. 그러나 샘플 중앙값은 여전히 데이터의 원활한 기능입니다.

Mammen에는 부드러움이 필요하다는 비공식적 인 의견이 있습니다.

부트 스트랩의 일관성을 위해 일반적으로 국소 점근선 선형성이 필요한 것 같습니다

인용은 다음과 같습니다.

van Zwet, W (1989). 컨퍼런스에서 Olberwolfach의 "통계에서 컴퓨터 집약적 절차를위한 증상 적 방법"에 대해 이야기했습니다.

그러나 나는 소수의 인용과는 별도로이 연설의 흔적을 찾을 수 없습니다.

— 오리 존
소스

훌륭한 주제. 인용 된 모든 결과가 무한대가되는 표본 크기에 대해 점근 적으로 나타나는 것이 맞습니까?

— Michael M

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

복잡한 주제. 어떤 사람들은 부트 스트랩이 일반적으로 작동 하지 않는다고 말합니다 . van Zwer et al. 부트 스트랩이 무엇인지주의해야 한다고 말한다 . 추가 테스트가 필요하기 전에 부트 스트랩과 부트 스트랩을 설정하지 않아야한다고 생각합니다.

— Carl

이제 Mammen의 의견에 따라 답변을 업데이트했습니다. 혼란을 더 명확히하기를 바랍니다. 그리고 원하는 경우 필요성에 대해 문의하도록 동기를 부여하는 응용 프로그램에 대해 약간 설명 할 수 있습니다. 그것은 내 대답을 향상시키는 데 도움이 될 것입니다.

— Henry.L

$\blacksquare$

이 경우 부트 스트랩을 작동시키기에 충분한 조건으로 Hadamard 미분 가능성 (또는 참조 소스에 따라 컴팩트 한 차이)이 필요합니다. 중간 값과 모든 Quantile은 Hadamard와 차별화됩니다. Frechet의 차별화는 대부분의 응용에서 너무 강합니다.

일반적으로 폴란드 공간을 논의하기에 충분하기 때문에 일관성 결과를 전역 상황으로 확장하기 위해 전형적인 소 형성 인수를 적용하는 로컬 선형 함수가 필요합니다. 아래의 선형화 주석도 참조하십시오.

$\rho$ $T_{n}$ $n$

$\blacksquare$

[Shao & Tu] pp.85-86은 부트 스트랩 추정기가 불일치 할 수있는 상황을 보여줍니다.

$F$ $H_{BOOT}$ $H_0$

$T_{n}$

(3) 부트 스트랩 추정기의 동작은 때때로 부트 스트랩 데이터를 얻는 데 사용 된 방법에 따라 다릅니다.

$K$

$\blacksquare$

언급 한대로 Mammen이 작성한 "일반적으로 로컬 점근선 선형성이 부트 스트랩의 일관성에 필요한 것 같습니다". [Shao & Tu] p.78의 의견은 다음과 같습니다. (글로벌) 선형화는 일관성 증명을 용이하게하고 필요성을 나타내지 않는 기술 일뿐입니다.

선형 통계에 대한 결과가 종종 사용 가능하거나 이전에 소개 된 기술을 사용하여 확립 될 수 있기 때문에 선형화 는 부트 스트랩 추정기의 일관성을 입증하는 또 다른 중요한 기술 입니다. 주어진 통계량 Tn이 선형 랜덤 변수 의해 근사 될 수 있다고 가정하십시오. $\bar{Z_n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\phi(X_n)$ $\phi(X)$ $X$
$T_{n} = θ + \bar{Z_{n}} + o_{P} (\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n=\theta+\bar{Z_n}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n^{*}$ $\bar{Z_n^{*}}$ $T_n$ $\bar{Z_n}$ $\{X_1^{*},\cdots,X_n^{*}\}$ $T_n^{*}$ $T_{n}^{*} = θ + {\bar{Z_{n}}}^{*} + o_{P} (\frac{1}{\sqrt{n}})$ $T_n^{*}=\theta+\bar{Z_n}^{*}+o_{P}(\frac{1}{\sqrt{n}})$ $H_{BOOT}(x)$ $x$ $=P\{\sqrt{n}(T_n-T_n^{*}) \leq x\}$ $P\{\sqrt{n}(\bar{Z_n}-\bar{Z_n}^{*}) \leq x\}$ $\bar{Z_n}$

그리고 MLE 유형 부트 스트랩에 대한 부트 스트랩 일관성을 얻는 3.3 예제를 제공했습니다. 그러나 글로벌 선형성이 그렇게 효과적이라면, 로컬 선형성없이 일관성을 입증 할 방법을 상상하기 어렵습니다. 그래서 그것이 Mammen이 말하고 싶었던 것 같습니다.

$\blacksquare$

위의 [Shao & Tu]에서 제공 한 논의 이외에도 원하는 것은 부트 스트랩 추정기의 일관성에 대한 특성화 조건이라고 생각합니다.

$M(X)$ $T$ $CLT$

$M(X)$

나는 냉소적 인 것을 싫어하지만 여전히 이것이 "공허에서 인용하는"통계적 글쓰기가 아니라고 생각합니다. van Zwet는 위대한 학자이지만 van Zwet의 이야기에 대한 인용은 매우 무책임하다고 생각합니다.

$\blacksquare$

[Wasserman] Wasserman, 래리 모든 비모수 통계, Springer, 2010.

[Shao & Tu] Shao, Jun 및 Dongsheng Tu. 잭나이프와 부트 스트랩. 1995 년 스프링거.

[Gine & Zinn] Giné, Evarist 및 Joel Zinn. "부스트 스트랩 핑 일반적인 경험적 조치." 확률의 연대기 (1990) : 851-869.

[Huber] Huber, Peter J. Robust 통계. 윌리, 1985.

— Henry.L
소스